Question

为什么二次函数与抛物线有关？

Answer 1

推导过程：

若y=ax²+bx+c与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)和(x2，0)

则根据韦达定理：

x1+x2=-b/a

x1·x2=c/a

∴y=ax²+bx+c

=a(x²+b/a·x+c/a)

=a[x²-(x1+x2)·x+x1·x2]

=a(x-x1)(x-x2)

定义与表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax²+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

抛物线与x轴

交点个数

Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

系数表达的意义

a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口。

b和a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。

c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）。