Question

一根长10米的长方形木料把它锯成四段后的表面积是12d㎡这段长方体木料的体积？

Answer 1

假设长为 $a$，宽为 $b$，高为 $c$，则：
$$ab=12d$$
$$2a+2b=10$$
$$a=\frac{10-2b}{2}=5-b$$
将 $a$ 带入第一个式子：
$$(5-b)b=12d$$
$$b^2-5b+12d=0$$
由于 $b$ 为长方形木料的整数边长，因此可以使用求根公式求得：
$$b=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 12d}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{25-48d}}{2}$$
因为 $b$ 是整数，所以 $25-48d$ 必须是平方数，并且 $5\pm\sqrt{25-48d}$ 必须是偶数。由此得出 $d$ 必须满足以下三个条件之一：
$$d=1,2,4,7,10,15\dots$$
将 $b$ 替换回 $a$，得到：
$$a=5-b$$
$$c=\frac{12d}{ab}=\frac{12d}{(5-b)b}$$
$$V=abc=\frac{12d(5-b)}{b^2}$$

根据上面的求解过程，$d$ 必须是满足以下条件之一的正整数：$d=1,2,4,7,10,15\dots$，因此，当 $d$ 值分别为 $1$、$2$、$4$、$7$ 和 $10$ 时，所得到的长方体木料的体积分别为：
$$V_1=\frac{12\times 1\times 3}{(\frac{5+\sqrt{25-48}}{2})^2}\approx 15.38$$
$$V_2=\frac{12\times 2\times 1.5}{(\frac{5+\sqrt{25-96}}{2})^2}\approx 12.00$$
$$V_3=\frac{12\times 4\times 1}{(\frac{5}{2})^2}\approx 3.84$$
$$V_4=\frac{12\times 7\times 0.6}{(\frac{5-\sqrt{25-336}}{2})^2}\approx 4.91$$
$$V_5=\frac{12\times 10\times 0.4286}{(\frac{5-\sqrt{25-480}}{2})^2}\approx 10.70$$
因此，所求的长方体木料的体积可能是 $15.38$、$12.00$、$3.84$、$4.91$ 或 $10.70$ 立方米中的任意一个。