小学生奥数公约数与最小公倍数
1.小学生奥数公约数与最小公倍数
公约数，亦称“公因数”。它是一个能同时整除几个整数的数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中的称为公约数。对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数。
公约数与公倍数相反，就是既是A的约数同时也是B的约数的数，12和15的公约数有1，3，公约数就是3。再举个例子，30和40，它们的公约数有1，2，5，10，公约数是10
2.小学生奥数公约数与最小公倍数
两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为［a，b］，同样的，a，b，c的最小公倍数记为［a，b，c］，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。
与最小公倍数相对应的概念是公约数，a，b的公约数记为（a，b）。关于最小公倍数与公约数，我们有这样的定理：（a，b）x［a，b］=ab（a，b均为整数）。
3.小学生奥数公约数与最小公倍数
公约数和最小公倍数的比较：
教学目标
(一)进一步理解并掌握公约数和最小公倍数的概念，分清求公约数和最小公倍数的相同点和不同点。
(二)培养学生仔细、认真的做题习惯和比较的思维方法。
(三)培养学生观察、分析、比较的能力。
教学重点和难点
公约数和最小公倍数异同点的比较。
教学用具
教具：小黑板，投影片。
学具：判断卡，选择卡。
教学过程设计
(一)复习准备
教师：
①什么叫公约数和最小公倍数?
②怎样求公约数和最小公倍数?
③求下面各题的公约数和最小公倍数?(口答)
8和 16 13和 26 2和 9 7和 15
教师：对上面几道题你是怎么想的?各有什么特点?你能发现什么规律?
明确：
①两个数有倍数关系，公约数最较小数，最小公倍数是较大数。
②两个数互质，公约数是1，最小公倍数是两个数乘积。
(二)学习新课
1.出示例5。
求28和42的公约数和最小公倍数。(要求学生独立完成。)
学生口述教师板书。
28和42的公约数是：
2×7=14
28和42的最小公倍数是
2×7×2×3=84
教师：观察上面两道题，谁能说出求公约数和求最小公倍数有什么地方相同?什么地方不同?(讨论)
在讨论的基础上，总结出下面的结论。
教师：为什么求公约数只要把所有除数乘起来，而求最小公倍数就要把所有除数和商都乘起来呢?
明确：求公约数是两个数公有质因数的积;求最小公倍数既要包含两个数公有质因数，又要包括各自独有的质因数。
教师：既然求两个数的公约数和最小公倍数的短除过程是相同的，那么，我们就可以用一个短除式来表示。例5怎样做简便?(由学生完成。)
2.出示做一做。
根据下面的短除，你能很快说出24和36的公约数和最小公倍数吗? (三)巩固反馈
1.求下面各组数的公约数和最小公倍数。
30和18 75和35 16和72
9和31 20和12 100和30
2.判断正误并说明理由。
①互质的两个数没有公约数;( )
②两个数的最小公倍数，是这两个数的公约数的倍数;( )
③
12和8的公约数：2×2×3×2=24，
最小公倍数：2×2=4;( )
④
36和24的公约数：2×2=4，
最小公倍数：2×2×9×6=216;( )
⑤17 和51。
17和51的公约数是17，
最小公倍数是：17×51=867。( )
3.选择正确答案的序号填在( )里。
(1)已知甲、乙两个数互质，那么甲、乙公约数是( )，最小公倍数是( )。
①1 ②甲 ③乙 ④甲×乙
(2)已知a=2×3×2，b=2×3×5，那么a，b的公约数是( )，最小公倍数是( )。
①2×3
②2×3×2
③2×3×5
④2×3×2×5
4.思考题。
怎样用一个短除式求下面三个数的公约数和最小公倍数。
8，16和 24。
(四)课堂总结(学生总结)
1.求两个数的公约数，最小公倍数用一个短除式。
2.求公约数把所有的除数乘起来，求最小公倍数把所有的除数和商乘起来。
(五)布置作业：课本80页练习十六，3，4，5。
课堂教学设计说明
本节课教学是在学生学习分别求公约数和最小公倍数的基础上进行的，目的是让学生能够区分并深入理解求公约数和最小公倍数的方法。教学中在安排学生独立完成例题后，分组讨论此题求公约数和最小公倍数有什么异同点，由学生列表得出结论。进一步引发学生思考为什么求公约数是把所有除数相乘，而求最小公倍数是把所有除数和商相乘?使学生深入、透彻地理解求公约数和最小公倍数的方法，同时培养了学生严谨治学、独立思考的学习习惯及比较的能力。 本节新课教学分为两部分。
第一部分，教学例5，由学生独立求出公约数和最小公倍数。
第二部分，对比例5中公约数，最小公倍数的求法，讨论它们有什么异同点，从而总结出结论。共分三层。
第一层：总结相同点;
第二层：总结不同点;
第三层：结合算理找出解法不同之处的内在原因。
4.小学生奥数公约数与最小公倍数
（1）写出除以7所得商和余数（不为0）相同的所有数。（）。
答案：8、16、24、32、40、48.
（2）一个数被2，3，7除都余1，这个数最小是（）。
答案：43。
（3）一个两位数加上3能被5整除，减去3能被6整除。所有满足上述条件的两位数是（）。
答案：27、57、87。
（4）求一个最小的自然数，使它除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4。这个数是（）。
答案：58。
（5）如果某数除492、2241、3195都余15，那么这个数最小是（），是（）。
答案：53、159。
5.小学生奥数公约数与最小公倍数
（1）两个数的（）个数是无限的。
A.公约数B.公倍数C.公约数D.最小公倍数
答案：B
（2）下列四组数中，两个数只有公约数1的数是（）。
A.13和91B.21和51
C.34和51D.15和28
答案：D
（3）17是136和476的（）。
A.公约数B.公倍数C.公约数D.最小公倍数
答案：A
（4）有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有（）对。
A.1B.2C.3D.4
答案：B
（5）自然数a、b，如果数a除以数b的商是2，那么两数的公约数是（）。
A.aB.bC.1D.2
答案：B
（6）a、b和c是三个自然数，在a=b×c中，不一定成立的是（）。
A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除
C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数
答案：C
（7）甲数=2×3×7×A，乙数=2×5×7×A，当A=（）时，甲、乙两数的公约数是42。
A.2B.3C.5D.7
答案：B
（8）如果a能被b整除，c又是b的约数，那么a、b、c三个数的最小公倍数是（）。
A.abcB.a＋b＋cC.aD.b
答案：C
2.填空题
（1）两个数的公约数是1，最小公倍数是221，这两个数是（）或（）。答案：1和221或13和17。
（2）有一个数，用它去除18，36，42，正好都能整除，这个数是（）。
答案：6
（3）（）与60的公约数是60，最小公倍数是120。
答案：答案：120
（4）如果A=2×2×3×3×5，B=2×3×3×7，C=2×3×11，那么A、B、C三个数的公约数是（）；A、B两个数的最小公倍数是（）；B、C两个数的最小公倍数是（）。
答案：6、1260、1386。
（5）三个数的和等于63，甲数比乙数少3，丙数是甲数的2倍，这三个数的公约数是（），最小公倍数是（）。
答案：3、180。
