Question

设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f[f(x)]=x，试证存在x0，使f(x0)=x0。

Answer 1

【答案】：用反证法。
设在整个数轴上f(x)≠x，则依f(x)在整个数轴上的连续性可知，f(x)-x在整个数轴上必定同号，不妨设f(x)-x＞0，即f(x)＞x。因此
f[f(x)]＞f(x)＞x，这与f[f(x)]=x相矛盾，故知在数轴上存在x₀，使f(x₀)=x₀。若将问题转化为f(x₀)-x₀=0，则属于连续函数f(x)-x在-∞＜x＜+∞内的零点问题。虽然问题不是闭区间上的连续函数，但可考虑能否利用闭区间上的连续函数的性质，由于问题是判定x₀的存在性，因此可考虑利用反证法。