Question

三阶矩阵的二阶子式怎么求

Answer 1

一个矩阵的 $k$ 阶子式是由该矩阵中任取 $k$ 行和 $k$ 列所组成的 $k$ 阶行列式。因此，对于一个 $3$ 阶矩阵 $A$，任取其中的 $2$ 行和 $2$ 列，组成的 $2$ 阶行列式即为它的二阶子式。

设 $A$ 为一个 $3\times 3$ 矩阵，可以表示为：

$$
A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{bmatrix}
$$

那么，$A$ 的 $2$ 阶子式的求法就为：

$$
\begin{vmatrix}
a_{i_1,j_1} & a_{i_1,j_2} \\
a_{i_2,j_1} & a_{i_2,j_2}
\end{vmatrix}
$$

其中，$i_1, i_2, j_1, j_2$ 是任意选取的 $2$ 行和 $2$ 列的行和列下标，可以取 $1, 2, 3$ 中的任意两个。例如，可以选择 $i_1=1$, $i_2=2$, $j_1=2$, $j_2=3$，那么 $A$ 的二阶子式就是：

$$
\begin{vmatrix}
a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,2} & a_{2,3}
\end{vmatrix}
$$

求解该 $2$ 阶行列式即可得到 $A$ 的一个二阶子式。同理，我们可以选取其他的两行两列，求得其他的二阶子式。