😳问题 : ∫(0->x) tsint dt, 则f'(x) =
👉定积分定义：
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
∑(i:1->n) f(ξi)△xi
。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分
这个问题可以有2种方法解决
『方法一』，先求出∫(0->x) tsint dt， 然后再对 f(x) 求导
『方法二』，直接 对∫(0->x) tsint dt 求导
👉『方法一』
∫(0->x) tsint dt
利用 dcost = -sint dt
=-∫(0->x) tdcost
利用分部积分 ， ∫udv = uv - ∫vdu
=-[tcost]|(0->x) +∫(0->x) cost dt
代入积分上下限
=-xcosx +∫(0->x) cost dt
∫ cost dt = sint + C
=-xcosx +[sinx]|(0->x)
=-xcosx + sinx
ie
f(x)=∫(0->x) tsint dt =-xcosx +sinx
两边求导
f'(x) =xsinx -cosx +cosx
f'(x) =xsinx
👉『方法二』
f(x) = ∫(0->x) tsint dt
积分内只有t， 没有x， 所以把x 带入积分内
f'(x)
= xsinx. (x)'
= xsinx. (1)
=xsinx
两个方法得出的答案是一样
所以
😄: 结果： f'(x) =xsinx
