Question

设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：方程2x=1+∫0xf(t)dt在[0，1]上只有一个实根

Answer 1

【答案】：构造函数F(x)=2x-1-∫₀^xf(t)dtx∈[0，1]，显然F(x)在[0，1]上连续且可导．
i)先证根的存在性．
F(0)=-1＜0，F(1)=1-∫₀¹f(t)dt．因为f(x)＜1，且f(x)在[0，1]上连续，故f(t)df＜1，进而F(1)=1-∫₀¹f(t)dt＞0，故由零点定理，至少存在一点c∈(0，1)，使得F(c)=0，即方程2x=1+∫₀¹f(t)dt在[0，1]上至少有一个实根．
ii)再证根的唯一性．
方法1：F'(x)=2-f(x)＞0，故F(x)在[0，1]上单调增加，故由i)，ii)，方程2x=1+∫₀^xf(t)dt在[0，1]上只有一个实根．
方法2：(用反证法)假设方程F(x)=0在[0，1]上有两个实根x₁，x₂，(不,妨设x₁＜x₂)，则F(x₁)=F(x₂)=0，则由罗尔定理：存在一点ξ∈(x₁，x₂)，使得F'(ξ)=0，又F'(x)=2-f(x)，从而2-f(ξ)=0，即f(ξ)=2，这与已知条件f(x)＜1矛盾，故假设不成立．所以方程2x=1+∫₀^xf(t)dt在[0，1]上只有一个实根．判断方程根的存在性问题一般可以考虑“零点定理”和“罗尔定理”，而判断根的唯一性可以用反证法或者函数的单调性．当然首先必须构造出恰当的函数．