Question

倒代换求积分 [关于倒代换解决一类积分问题的新思考]

Answer 1

　　摘 要 在不定积分知识的学习过程中，常会遇到一类需要利用倒代换求解积分的问题，但考虑到倒代换解题较繁琐的特点，本文给出一种解决该类问题的新方法，该方法在这类问题解答中具有较倒代换更好的适用性。
　　关键词 不定积分 倒代换 裂项 凑微分
　　中图分类号：O172文献标识码：A
　　
　　0 引言
　　在中学数学有关数列知识的学习中，我们经常用裂项的方法进行求解数列的相关问题。例如，已知一数列{an}的通项公式为an = ，求该数列前n项和Sn。对于这道题，具体做法如：an ===
　　上面的处理过程我们称为裂项，an被分解成了两个简单分式的代数和。这样裂项的好处是在求解Sn时所带来的简便性：
　　Sn = a1 + a2 + …+an = 1 ---+ … +-=
　　即为所求的数列{an}的前n项和Sn。
　　本文所提到的有关倒代换在解决一类不定积分问题时的新思考是在裂项的基础上受到启发，再结合微积分当中求不定积分的第一类换元积分法也即凑微分法的相关知识，给出的一种不同于倒代换但整体上更易于理解和掌握的有关一类不定积分问题的新方法，并且这个方法使得原本利用倒代换这一种第二类换元积分法的方法转化成利用第一类换元积分法这一解答途径上来，也减轻了学生的学习负担。
　　1 倒代换在一类积分问题中的应用
　　例1 求不定积分
　　解：令x = ，则 = -，于是
　　 = ・(- )
　　= -= - = - ()
　　= - || + c = - | + 1| + C
　　= - |2 + | +|| + C
　　需要指出的是在吴赣昌的书中指出遇到有关有理函数中分母的阶数较高时，经常利用倒代换。而且倒代换的形式是x = ，一旦运用倒代换，必然会产生新的变元。这使得我们可以看到，此题利用倒代换的解题过程较为繁琐，首先要换元产生新的变量，接着化简，凑微分求解。要注意的是这样首先得到的是关于变量t的积分结果，最后一步也是很关键的一步――那就是回代得到关于x的函数关系式，如需化简还要最终化简。因此，整个过程需要一定的时间成本，并且求解时需要处处小心，因为它既考察了学生对于第一类换元积分法的掌握情况，也考察了第二类换元掌握的情况，对于基础不是太好的同学是有一定难度的。
　　前面提到了倒代换常用于当有理函数中分母阶数较高的情况，但即便分母阶数很高也不一定用倒代换就能求解，比如下面这道例题。
　　例2 求不定积分
　　解：令x = ，则 = -，于是
　　= ・(- ) =
　　题目求解到这，我们可以观察到此时换元整理之后的式子中分母的阶数依然很高，那如果按照之前的办法我们需再一次利用倒代换，这样下来花的时间更多，而且还不一定能得到正确的结果。假设在实际情况中我们的学生在学习的过程中恰好碰到例二这样的情形，岂不是要走很多弯路。基于这种考虑，再结合我们最开始所提到的裂项这一知识，则对于上面的两个例子都能很好加以解决。
　　例1‘ 求不定积分
　　解： 原式 = = ( - )
　　= ( - ) = || - || + C
　　此题解答过程简单明了，所运用到的只是高中裂项和大学微积分中凑微分的结合。而且对于这一类凑微分是有一个结论性的知识的，那就是对于有理分式中分母的幂次恰好比分子多一，例如本题中分母幂次为7，分子为6。凑微分时将分子直接和合起来凑微分，然后进行求解。因此，此题较之倒代换来说，是有它的优势的。下面我们再看一下这种结合在例二中的应用。
　　例2‘ 求不定积分
　　解： =( - )
　　= -
　　=( - )-
　　=|| -+ C
　　2 新方法在一类积分中的应用
　　观察新方法在例子中的应用进行思考，是不是类似的积分求解都能用此类方法解答，例如，但是随之我们求解发现裂项之后并不能像例1‘那样进行解答，这是因为在求解的过程中凑微分这一步骤不能很好的完成。但是我们也总结发现，如果积分中有理函数中分母指数低的那一项是x的一次函数，但另外一项可以是x的任意次数函数，同时分子为自然数1，如 ，利用本文方法其结果为 || - || + C。基于这样的探索发现，本文总结之后给出了一类形如 ，（a为任意常数，n为任意整数）积分的解题方法。
　　例3 求
　　解：原式 = =
　　= ( - )=|| + C
　　= || - | + | + C
　　对于这一类积分问题的一般情形研究发现，其结果有着一个规律，即结果是由两个对数和一个积分常数C组成，且第一个对数前面的分数是原积分问题中分母的常数项的倒数，第二个对数的分数为分母中常数项和x的指数n的乘积的倒数。而且位于对数位置的部分恰好分别是x和 + 这两项，因此，今后在碰到类似的积分时，可以结合这一规律直接给出答案。例如：= || -| + 4| + C
　　3 小结
　　本文是在一类积分问题常利用倒代换求解的基础上进行的新思考。其出发点是基于在运用倒代换求解这一类积分问题时的繁琐性寻求更好的解决方法。新方法结合了第一类换元积分法和高中数学在数列学习中的裂项的知识。文中通过分析和实例对比，指出了本文方法较之直接使用倒代换的优越性，能更好的让学生掌握一类积分问题的求解。并且文中还将实际的例子加以推广到一般情形验证了该方法确实有着一定的实用性，得出了一般情况下能迅速给出解答答案，可以说该方法是比倒代换更能让学生掌握的方法。当然该方法也有不足之处，那就是只是针对一类问题能很好地加以解决，对另外一些情形却有着它的局限性，这也是需要研究的地方。
　　
　　参考文献
　　[1] 吴赣昌.微积分(经管类第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,2009:182.
　　[2] 陈文英.高等数学中代换法运用技巧[J].沈阳师范大学学报,2007.25(4):442-444.
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