Question

求不定方程x²+y²=z²的满足条件(x,y)=1,2|x,0<30<z的正整数解

Answer 1

这是一个勾股数问题，要求满足条件 $(x,y)=1, 2|x,0<30<z$ 的正整数解。
首先考虑 $x$ 是奇数的情况。根据勾股定理，$x^2 + y^2 = z^2$，所以 $y$ 和 $z$ 必须同奇偶。由于 $z>30$，可以设 $z=2m$，$m>15$，$m$ 为正整数。
将 $x^2 = z^2 - y^2 = 4m^2 - y^2$ 带回 $(x,y)=1$，得到 $y$ 必须是奇数。设 $y=2n+1$，$n>0$，$n$ 为正整数，则有：
$$x^2 = 4m^2 - (2n+1)^2 = 4(m^2-n^2-n)-1$$
两边同时除以 4，得到：
$$\frac{x^2+1}{4} = m^2 - n^2 - n$$
左边为奇数，右边为偶数，因此 $x$ 必须是偶数。设 $x=2k$，$k>0$，$k$ 为正整数，则有：
$$\frac{k^2+n^2+n+1}{2} = m^2$$