Question

证明:|sin(x+2)-sinx|≤1/2？

Answer 1

可以使用三角函数的和差公式来证明该不等式。

首先，根据三角函数的和差公式：

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

将 a = x，b = 2 代入，得到：

sin(x + 2) = sin(x)cos(2) + cos(x)sin(2)

同理，将 b = 0 代入，得到：

sin(x) = sin(x)cos(0) + cos(x)sin(0)

接着，将这两个式子相减，并应用三角函数的差角公式 sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)，得到：

sin(x + 2) - sin(x) = sin(x)cos(2) + cos(x)sin(2) - sin(x)cos(0) - cos(x)sin(0)

= sin(x)(cos(2) - cos(0)) + cos(x)(sin(2) - sin(0))

= 2sin(x + 1)sin(1)

接下来，根据三角函数的绝对值不等式 |sin(a)| ≤ 1，可以得到：

|sin(x + 2) - sin(x)| = |2sin(x + 1)sin(1)| ≤ 2sin(1)

因为 0 ≤ sin(1) ≤ 1，所以 0 ≤ 2sin(1) ≤ 2，即：

|sin(x + 2) - sin(x)| ≤ 2sin(1) ≤ 1/2

因此，可以得到：|sin(x + 2) - sin(x)| ≤ 1/2