微分和不定积分的关系是怎样的?

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冰极晓月
2023-06-28 · TA获得超过7219个赞
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首先,微积分包括微分和积分,积分包括不定积分和定积分。

一、微分:

如果函数在某点处的增量可以表示成
△y=A△x+o(△x) (o(△x)是△x的高阶无穷小)
且A是一个与△x无关的常数的话,那么这个A△x就叫做函数在这点处的微分,用dy表示,即dy=A△x

△y=A△x+o(△x),两边同除△x有
△y/△x=A+o(△x)/△x,再取△x趋于0的极限有
lim△y/△x=lim[A+o(△x)/△x]=limA+lim[o(△x)/△x]=A+0
f'(x)=lim△y/△x=A

所以这里就揭示出了,导数与微分之间的关系了,
某点处的微分:dy=f'(x)△x
通常我们又把△x叫自变量的微分,用dx表示 所以就有
dy=f'(x)dx.证明出了微分与导数的关系
正因为f'(x)=dy/dx,所以导数也叫做微商(两个微分的商)

二、积分

求积分的过程,与求导的过程正好是逆过程,好加与减,乘与除的关系差不多。

1、不定积分:求一个函数f(x)的不定积分,就是要求出一个原函数F(x),使得F'(x)=f(x),
而F(x)+C(C为任意常数)就是不定积分∫f'(x)dx的所有原函数,
不定积分其实就是这个表达式:∫f'(x)dx

2、定积分:定积分与不定积分的区别是,定积分有上下限,∫(a,b)f'(x)dx
而不定积分是没有上下限的,因而不定积分的结果往往是个函数,定积分的结果则是个常数,这点对解积分方程有一定的帮助。

三、联系和区别

微积分包括微分和积分,积分包括不定积分和定积分。

其中,不定积分没有积分上下限,所得原函数后面加一个常数C;定积分是在不定积分的基础上,加上了积分上下限,所得的是数。

dy/dx 叫导数,将dx乘到等式右边,就是微分。


扩展资料:

微分、定积分、不定积分的几何意义:

1、微分:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

2、定积分:几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示。

3、不定积分:函数 f(x)的一个原函数y=F(x)是这样一条曲线,曲线上任一点(x,F(x))切线斜率等于f(x),曲线F(x)沿y轴平行移动得到y=F(x)+C(一族积分曲线),它们都是f(x)原函数的曲线。

北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
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