Question

(sinA-cosA)sinA的最大值？

Answer 1

首先，我们可以将(sinA-cosA)sinA展开，得到sin^2(A) - cos(A)sin(A)。现在，我们需要找到这个表达式的最大值。
我们可以使用求导的方法来找到最大值。将表达式sin^2(A) - cos(A)sin(A)求导，得到2sin(A)cos(A) - cos(A)cos(A) = cos(A)(2sin(A)-cos(A))。然后，我们需要找到cos(A)(2sin(A)-cos(A))的导数为0的点。
当导数为0时，有cos(A)=0或2sin(A)-cos(A)=0。当cos(A)=0时，sin(A)=±1。当2sin(A)-cos(A)=0时，有cos(A)=2sin(A)，所以sin(A)/cos(A) = 1/2，因此tan(A) = 1/2，A≈0.464。然后，我们需要验证这些点是最大值还是最小值。
对于sin(A)=1，表达式为1-cos(A)。当A=0时，这个表达式取得最小值0。当A=π/2时，这个表达式取得最大值1。
对于sin(A)=-1，表达式为1+cos(A)。当A=π时，这个表达式取得最小值0。当A=3π/2时，这个表达式取得最大值1。
对于cos(A)=2sin(A)，表达式为sin^2(A) - 2sin^3(A)。我们可以使用求导的方法来找到这个表达式的最大值。将表达式sin^2(A) - 2sin^3(A)求导，得到2sin(A)cos(A) - 6sin^2(A)cos(A)。然后，我们需要找到2sin(A)cos(A) - 6sin^2(A)cos(A)=0的点。这个方程可以被化简为cos(A)(2-6sin(A))=0，因此cos(A)=0或2-6sin(A)=0。
当cos(A)=0时，sin(A)=±1。当2-6sin(A)=0时，sin(A)=1/3，A≈1.231。然后，我们需要验证这些点是最大值还是最小值。
对于sin(A)=1，表达式为-1。当A=π/2时，这个表达式取得最小值-1。
对于sin(A)=-1，表达式为1。当A=3π/2时，这个表达式取得最大值1。
对于sin(A)=1/3，表达式为1/9。当A≈1.231时，这个表达式取得最大值约为0.037。
综上所述，我们得到了表达式(sinA-cosA)sinA的最大值为1，取得最大值的A值为π/2。

Answer 2

解:(sinA一cosA)sinA
=sin²A一sinAcosA
=(1一cos2A)/2一sin2A/2
=1/2一√2sin(2A十45°)/2
因为一1≤sin(2A十45°)≤1，
所以1/2一√2/≤1/2一√2sin(2A十45°)≤1/2十√2/2，
故(sinA一cosAsinA的最大值为1/2十√2/2。