Question

已知A,B为n阶方阵,证明: (A+B)^2=A^2+2AB+B 的充要条件是AB=BA？

Answer 1

证明：
首先，我们将 (A+B)^2 展开，有：
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
又因为题目中已知 (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 - AB - BA，代入上式，得到：
A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 - AB - BA
化简后可得：
AB=BA
因此，当且仅当 AB=BA 时，(A+B)^2=A^2+2AB+B 成立。
反之，若 (A+B)^2=A^2+2AB+B 成立，则可得：
(A+B)^2 - (A^2 + 2AB + B^2) = - [AB + BA]
展开得：
AB + BA = 0
即：
AB = -BA
如果进一步假设 n > 1，我们可以找到非零矩阵 X 和 Y，使得 XY ≠ YX。例如令：
X = [1 0 ... 0]
[0 0 ... 0]
[... ...]
[0 0 ... 0]
Y = [0 1 ... 0]
[0 0 ... 0]
[... ...]
[0 0 ... 0]
则 XY 的第一行是 X 的第一行，其它行都是零。而 YX 的第一列是 Y 的第一列，其它列都是零。因为它们的第一行和第一列不相等，所以 XY ≠ YX。
因此，反之也成立，即当 AB=BA 时，(A+B)^2=A^2+2AB+B 成立。