Question

求下列微分方程的通解,要过程？？

1 xy'=y+(x/lnx)
2 y'-（2y/x）=x^2sin3x

Answer 1

说明：这两道题可以用“常数变易法”解，也可以用“全微分法”解。
但用“全微分法”解更简洁！我只用“全微分法”，过程如下。
解：1。∵xy'=y+(x/lnx) ==>xdy-ydx=xdx/lnx
==>(xdy-ydx)/x²=dx/(xlnx)
==>d(y/x)=d(lnx)/lnx
==>d(y/x)=d(ln|lnx|)
==>y/x=ln|lnx|+C (C是积分常数)
==>y=x(ln|lnx|+C)
∴原微分方程的通解是y=x(ln|lnx|+C) (C是积分常数)
2。∵y'-(2y/x)=x²sin3x ==>dy-(2y/x)dx=x²sin(3x)dx
==>dy/x²-(2y/x³)dx=sin(3x)dx
==>dy/x²+yd(1/x²)=-1/3d(cos(3x))
==>d(y/x²)=d(-cos(3x)/3)
==>y/x²=-cos(3x)/3+C (C是积分常数)
==>y=x²[C-cos(3x)/3]
∴原微分方程的通解是y=x²[C-cos(3x)/3] (C是积分常数)

Answer 2

师傅引进门，修行在个人，一类题目，用常数易变法解
换成dy\dx+P(x)y=Q(x)型很容易做出来的

Answer 3

13+exp(3x)(c1cos2x+c2sin2x)
如果有什么不明白可以在我的blog上留言;+13y=14的一个特解那么显然y=14/，在这个方面没有什么统一的办法)
则方程y''r1=3+2i
r2=3-2i
对应的解是
exp((3+2i)*x)和exp((3-2i)*x)
对应的实值解用欧拉变换求得
exp(3*x)(cos2x+isin2x)
exp(3*x)(cos2x-isin2x)
我们知道常系数齐次线性常微分方程复值解的实部和虚部分别是常系数齐次线性常微分方程的解
所以对应的两个线性无关的实值解分别是
exp(3x)cos2x和exp(3x)sin2x
所以相应常系数齐次线性常微分方程的通解是
exp(3x)(c1cos2x+c2sin2x),c2是任意常数,其中c1;13是这个方程的一个特解.(这一般是猜测或者靠一些别的办法求得;-6y'+13y=14的通解是其一个特解和相应常系数齐次线性常微分方程的通解的和即:
14/.
然后y'-6y''

Answer 4

解：（1）∵y'=2xy²
==>dy/dx=2xy²
==>dy/y²=2xdx
(y≠0)
==>-1/y=x²+C
(C是积分常数)
==>y=-1/(x²+C)
显然，y=0是原方程的解
∴原方程的通解是y=0和y=-1/(x²+C)
(C是积分常数)。
（2）∵
dy/dx=ysin²x
==>dy/y=sin²xdx
==>dy/y=(1-cos(2x))dx/2
(应用倍角公式，y≠0)
==>ln│y│=(x/2-sin(2x)/4)+ln│C│
(C是非零积分常数)
==>y=Ce^(x/2-sin(2x)/4)
显然，y=0是原方程的解.即C=0
∴原方程的通解是y=Ce^(x/2-sin(2x)/4)
(是积分常数)。
（3）∵dy/dx=(1+x²)/(2x²y)
==>2ydy=(1+1/x²)dx
==>y²=x-1/x+C
(C是积分常数)
∴原方程的通解是y²=x-1/x+C
(C是积分常数)。
注：（3）题没有表达清楚，我就按照dy/dx=(1+x²)/(2x²y)来求解。