Question

如何理解“n阶矩阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量”？

急～急～

Answer 1

虽然我不是刘老师，但我也可以帮你分析下。其实你问的这个问题，很多学生问过我了。
qingshi0902可以说解释了你们的问题。但你们共同的疑问应该不只是如
qingshi0902所说的这个。
当然qingshi0902说的一个是很重要结论：n阶实矩阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量。（这里不依赖特征值的情况，可以有重的也可以没有，当然，我们知道一个重的特征向量的重数必不小于其对应的线性无关特征向量的个数，这是另一个话题，这里就不讨论了）
首先我们来考虑下如果一个矩阵a的某个一个特征值t有n个线性无关特征向量，那么这个矩阵会是什么样的？
显然a-te对应的齐次线性方程组有n个线性无关的解。那么考虑解空间的维数+r(a-te）=a-te的列数
很容易得r(a-te）=0，注意到秩为零的矩阵只有零矩阵。故a-te=0，故a是个数量矩阵，且t是他的n重根。
另一方面，如果一个矩阵a有n个相同的特征值，且可以对角化的话，那么这个矩阵是什么样的矩阵呢？
a可对对角化，故存在可逆矩阵p有，p^(-1)ap=te
(te是因为他有n个相同的特征值）
故a=p(te)p^(-1)=te
显然r^n中任意向量均可为其特征向量。
到此你应该明白了吧，如果不明白再追问吧。呵呵。

Answer 2

如果A有n个线性无关的特征向量，设T=【a1,a2,...,an】（a1,a2,...,an线性无关，T可逆）
则AT=【入1a1,入2a2,...,入nan】=TB（B为对角矩阵）
T^(-1)AT=B
所以 n阶矩阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量