Question

级数的绝对收敛与条件收敛的一道题

判断交错级数 符号就不打了n=1到无穷 【(-1)^n 】×[ln（n^2＋1）]/(n^p)当它是绝对收敛时求p的范围 当它是条件收敛时求p的范围

Answer 1

首先考虑a=[In(n^2+1)]/n^t t>0
则lima=lim[2n/(n^2+1)*t*n^(t-1)] （洛比达法则）
=lim[2n^2/t*(n^2+1)]*[1/n^t]=0
考虑绝对收敛
当p>1 取s使p>s>1
则lim{[In(n^2+1)]/(n^p)}/(1/n^s)
=lim[In(n^2+1)]/n^(p-s)=0
∴存在N 当n>N 有0<[In(n^2+1)]/(n^p)<(1/n^s)
又∑(1/n^s)收敛 则∑[In(n^2+1)]/(n^p)收敛
即原级数绝对收敛
当p<=1
n足够大时
[In(n^2+1)]/(n^p)>=[In(n^2+1)]/n>1/n
可知∑[In(n^2+1)]/(n^p)发散
∴p>1时原级数绝对收敛
再考虑条件收敛
当p<=0 |[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|极限不为零
故级数不收敛
当p>0 由上讨论得lim|[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|=0
令f(x)=In(x^2+1)/x^p x,p>0
f'(x)=[2x^(p+1)/(x^2+1)-In(x^2+1)*px^(p-1)]/x^2p
=[2x^2/(x^2+1)-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
<[2-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
当x足够大时 f'(x)<0 即存在N'当n>N'时 f(n+1)<f(n)
故由莱布尼兹定理知当p>0时交错级数收敛
∴0<p<=1时原级数条件收敛

Answer 2

sin((n²+nα+1)π/n)
=
sin(nπ+(α+1/n)π)
=
(-1)^n·sin((α+1/n)π).
当n
→
∞,
有sin((α+1/n)π)
→
sin(απ).
级数收敛的一个必要条件是通项趋于0,
这要求sin(απ)
=
0.
故α不为整数时级数发散,
d不正确.
当α为整数时,
(-1)^n·sin((α+1/n)π)
=
(-1)^n·sin(απ+π/n)
=
(-1)^(n+α)·sin(π/n).
这是一个交错级数,
且当n
>
1,
通项的绝对值sin(π/n)对n单调递减趋于0.
根据leibniz判别法,
级数收敛,
a不正确.
当α为整数时,
|sin((n²+nα+1)π/n)|
=
sin(π/n).
lim{n
→
∞}
sin(π/n)/(1/n)
=
π,
即sin(π/n)与1/n是同阶无穷小.
而正项级数∑1/n发散,
根据比较判别法,
∑|sin((n²+nα+1)π/n)|
=
∑sin(π/n)也发散.
因此级数不是绝对收敛的,
b不正确.
收敛而不绝对收敛即条件收敛,
c正确.

Answer 3

首先考虑a=[In(n^2+1)]/n^t t>0
则lima=lim[2n/(n^2+1)*t*n^(t-1)】
=lim[2n^2/t*(n^2+1)]*[1/n^t]=0
考虑绝对收敛
当p>1 取s使p>s>1
则lim{[In(n^2+1)]/(n^p)}/(1/n^s)
=lim[In(n^2+1)]/n^(p-s)=0
∴存在N 当n>N 有0<[In(n^2+1)]/(n^p)<(1/n^s)
又∑(1/n^s)收敛 则∑[In(n^2+1)]/(n^p)收敛
即原级数绝对收敛
当p<=1
n足够大时
[In(n^2+1)]/(n^p)>=[In(n^2+1)]/n>1/n
可知∑[In(n^2+1)]/(n^p)发散
∴p>1时原级数绝对收敛
再考虑条件收敛
当p<=0 |[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|极限不为零
故级数不收敛
当p>0 由上讨论得lim|[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|=0
令f(x)=In(x^2+1)/x^p x,p>0
f'(x)=[2x^(p+1)/(x^2+1)-In(x^2+1)*px^(p-1)]/x^2p
=[2x^2/(x^2+1)-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
<[2-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
当x足够大时 f'(x)<0 即存在N'当n>N'时 f(n+1)<f(n)
故由莱布尼兹定理知当p>0时交错级数收敛
∴0<p<=1时原级数条件收敛

Answer 4

首先考虑a=[In(n^2+1)]/n^t
t>0
则lima=lim[2n/(n^2+1)*t*n^(t-1)]
（洛比达法则）
=lim[2n^2/t*(n^2+1)]*[1/n^t]=0
考虑绝对收敛
当p>1
取s使p>s>1
则lim{[In(n^2+1)]/(n^p)}/(1/n^s)
=lim[In(n^2+1)]/n^(p-s)=0
∴存在N
当n>N
有0<[In(n^2+1)]/(n^p)<(1/n^s)
又∑(1/n^s)收敛
则∑[In(n^2+1)]/(n^p)收敛
即原级数绝对收敛
当p<=1
n足够大时
[In(n^2+1)]/(n^p)>=[In(n^2+1)]/n>1/n
可知∑[In(n^2+1)]/(n^p)发散
∴p>1时原级数绝对收敛
再考虑条件收敛
当p<=0
|[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|极限不为零
故级数不收敛
当p>0
由上讨论得lim|[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|=0
令f(x)=In(x^2+1)/x^p
x,p>0
f'(x)=[2x^(p+1)/(x^2+1)-In(x^2+1)*px^(p-1)]/x^2p
=[2x^2/(x^2+1)-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
<[2-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
当x足够大时
f'(x)<0
即存在N'当n>N'时
f(n+1)<f(n)
故由莱布尼兹定理知当p>0时交错级数收敛
∴0<p<=1时原级数条件收敛

Answer 5

不大可能做到！
因为P制约的东西太多了！
在判断交错级数的时候就要用一次！
如果满足交错级数收敛的话！
它就可以证到是绝对收敛啦！！
那时候p>1
但如果不满足交错级数收敛的话！也就是说p<1的话！叫错级数都不收敛了！那还谈什么条件级数！！！
唉！！！
等高手吧你！！
或者你认真点看下题目！有出入么？？