Question

关于圆锥曲线的问题（最好是高中数学老师解答），步骤尽量详细

设A（x1,y1）,B(x2,y2)是椭圆Y2/a2+x2/b2=1（a>b>0）上的两点，已知向量m=(x1/b,y1/a),向量n=(x2/b,y2/b)，若(向量m)·(向量n)=0且椭圆离心率为e=（根3）/2，短轴长为2，O为坐标原点。
求椭圆的方程;
若直线AB过椭圆F（0,c）的焦点,(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值;
试问：AOB的面积是否为定值？如果是，给予证明;如果不是，请说明理由。
（由于部分公式及符号不能打出请谅解）
一共三问，最好将题号标出，主要是第三问。此问题完全正确没有题干错误，注意理解。

Answer 1

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Answer 2

请见图

Answer 3

解：由已知 2b=2 ,∴b=1
∵e=√3/2 ,即c/a=√3/2, ∴c=(√3/2)a
代入a^2-b^2=c^2得 a^2-1=[(√3/2)a]^2
解得 a^2=4 , a=2 ,c=√3
∴椭圆方程为 y^2/4+x^2=1 ,即y^2+4x^2=4
焦点F（0，√3）
直线AB：y=kx+√3 与椭圆y^2+4x^2=4 联立得
（kx+√3)^2+4x^2=4
即（k^2+4)x^2+(2√3)kx-1=0
∴x1+x2=-(2√3)k/(k^2+4)……①
x1·x2=-1/(k^2+4) ……②
y1·y2=(kx1+√3)(kx2+√3)
=k^2 x1·x2+(√3)k(x1+x2)+3
=(-k^2)/(k^2+4)+(√3)k·(-2√3）k/(k^2+4)+3
=(12-4k^2)/(k^2+4) ……③
再由已知 向量m·向量n=0 得 （x1,y1/2)·(x2,y2)=0
即 x1x2+(y1y2)/2=0 即 2x1x2+y1y2=0 ……④
将②③代入④ ：2[-1/(k^2+4)]+(12-4k^2)/(k^2+4)=0
解得 k^2=5/2 ∴k=±(√10)/2
注意：如果这个答案不对，请你检查一下题中是否有误？你的向量n错没错？
将题改过来，再按此思路做一下好了。