Question

请教一个关于偏导数的问题

u=e^((x^2)+(y^2)+(z^)),z=(x^2)siny 求u对y的偏导。
我试了两种方法，一种是把y看成自变量，x看成常数，z是y的因变量去求，求出来的结果是(2y+2(x^4)sinycosy)e^((x^2)(y^2)(z^2))，这个答案和书上的正确答案相同
第二种方法是为了验证我的想法而做的（u=e^((x^2)+(y^2)+(z^)),z=(x^2)siny，既然无论如何都是左边这两条式子，那么如果我把z=(x^2)siny 变为x^2=z/siny,然后把y看成自变量，x看成因变量，z看成常数，求出来的结果应该也一样），但是我用这种方法求出来的u对y的偏导是((-(x^2)cosy/siny)+2y)e^((x^2)(y^2)(z^2)),这个结果明显和第一个结果不同，这到底是怎么回事，试想一下，如果现在题目改成u=e^((x^2)+(y^2)+(z^)),x^2=z/siny，求出来的不就是第二个结果吗，但是改成这样的题目和原先的题目看上去可没有什么不同啊 ，为什么会得到不同的结果？难道这两种方法表示的意义有不同之处？

Answer 1

意义当然不一样……
前者是u(x,y)对y的偏导数，后者是u(y,z)对y的偏导数。
因为x,y,z有相互关系，所以当自变量x改变为z时，偏导数是会变化的：
当u是x,y的函数时，令u(x,y)=f(x,y,z),则：
∂u/∂y=∂f/∂y+(∂f/∂z)*(∂z/∂y)
当u是y,z的函数时，令u(y,z)=f(x,y,z),则：
∂u/∂y=∂f/∂y+(∂f/∂x)*(∂x/∂z)
可见只有当(∂f/∂z)*(∂z/∂y)=(∂f/∂x)*(∂x/∂z)时，两个偏导数才相等，但这种情况是特殊情况。一般(∂f/∂z)*(∂z/∂y)≠(∂f/∂x)*(∂x/∂z)，也即∂u(x,y)/∂y≠∂u(y,z)/∂y
举个简单的例子：
u=f(x,y,z)=x+y+z，其中z=x+y，
若u为x,y的函数，则：
u(x,y)=2x+2y
∂u/∂y=2
若u为y,z的函数，则：
u(y,z)=2z
∂u/∂y=0
可见∂u(x,y)/∂y≠∂u(y,z)/∂y

其实这东西还是得靠自己理解，真正理解偏导数的含义，这样像这种问题就迎刃而解了……

如果还有不明白的，补充说明吧……

Answer 2

偏导数要指明那些变量不变才行，所以把x,y看成自变量和把z,y看成自变量是不同的。一个更极端的例子是把u,y看成自变量，那么就等于0了，呵呵。偏导数是固定“其它”自变量时的导数，这个其它通常根据上下文确定，不能确定时要明确指出，不能随便取。