Question

完全平方数的约数是奇数个

求证正整数n为完全平方数的充分必要条件是n的正约数个数是奇数个。

Answer 1

充分性
1.n=1时正约数1个，是奇数
2.n>1时
n^2的约数:1...n...n^2
1和n之间每多一个约数，例如m，那么n到n^2之间就会多一个约数n^2/m
就是说除了这三个约数，其他的约数是成对出现的，也就是说约数的个数
是3+偶数，结果必为奇数

必要性：
1.如果一个数的公约数是1和他本身，那它就是质数，肯定不是完全平方数
2.如果一个数m的公约数是1和他本身m，还有其他的公约数,我们设其中一个数为p，那么必定存在一个约数m/p
也就是说公约数是成对出现的，除非这两个数相等，也就是同一个数，否则公约数的个数就肯定是偶数

所以p是m的完全平方根时，公约数个数是奇数，
p不是m的完全平方根时，公约数个数是偶数。

Answer 2

klghkjjkgjk

Answer 3

感谢“高不成”同学解惑，谢谢~