Question

已知Sn是等比数列｛an｝的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证a2，a8，a5成等差数列。

要详细过程 ！！！ 谢谢

Answer 1

证明：
由Sn是等比数列｛an｝的前n项和，S3，S9，S6成等差数列（已知）可得
2* S9=S3+S6
设首项为a1,公比为q，
当q≠1时
等比数列的求和公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
则2*(a1-a9×q)/(1-q)= (a1-a3×q)/(1-q)+ (a1-a6×q)/(1-q)
两边同乘1-q，上式可化简为
2*a9= a3+ a6
两边同除以q，上式可化简为
2*a8= a2+ a5
即：a2，a8，a5成等差数列
当q=1时
a1=a2=a3=a4=…=an
那么a2，a8，a5成公差为0的等差数列

Answer 2

首项a
2S9=2a(q^9-1)/(q-1)
S3+S6=a(a^3-1)/(q-1)+a(a^6-1)/(q-1)
2S9=S3+S6
显然a不等于0
2(q^9-1)=a^3-1+q^6-1
2q^9=q^3+q^6
2q^7=q+q^4
2aq^7=aq+aq^4
2a8=a2+a5
所以a2,a8,a5成等差数列

Answer 3

1楼的方法要先说明q等1时不合题意（2S9=S6+S3）
我比较懒，较喜欢用这方法：
（画线…）
S6=S3+a4+a5+a6=S3(1+q^3)
S9=S3+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)=S3(1+q^3+q^6)
由2S9=S3+S6…
由S3=a1(1+q+q^2)不等于0
得2(1+q^3+q^6)=1+1+q^3，q不等于0
得q^3=-1/2
由a2=a5/q^3=-2a5，a8=a5*q^3=-1/2*a5
所以…
所证如上。写时不需要这样烦，此方法适于填空选择
数学理解第一，有必要就画图易于理解和寻得暗规律

Answer 4

s3,s9,s6成等差数列.
s3+s6=2s9
whenq=1,a2,a8,a5成等差数列。
whenq不等于1；
左=a1(1-q^3)/(1-q)+a1(1-q^6)/(1-q)=2a1(1-q^9)/(1-q)
约分得：a1q^3+a1q^6=2a1q^9
两边各约去q^2;
a1q+a1q^4=2a1q^7
即a2+a5=2a8;
所以命题成立

Answer 5

令公比是q，a1=a
S3=a*(q^3-1)/(q-1)
S6=a*(q^6-1)/(q-1)
S9=a*(q^9-1)/(q-1)
S3,S9,S6成等差数列
2a*(q^9-1)/(q-1)=a*(q^3-1)/(q-1)+a*(q^6-1)/(q-1)
把a/(a-1)约分
2q^9-2=q^3-1+q^6-1
2q^9=q^3+q^6
把a^2约分
2q^7=q+q^4
a2=aq,a5=aq^4,a8=aq^7
因为2q^7=q+q^4，且等比数列元素不等于0，所以a不等于0
所以2aq^7=aq+aq^4
2a8=a2+a5
所以a2,a8,a5成等差数列。