Question

如图，已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆O，∠B的平分线BE交AC于D，交圆O于E，

如图，已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆O，∠B的平分线BE交AC于D，交圆O于E，过E作EF//AC叫BA的延长线与F。（1）求证：EF是圆O切线；（2）求证：△FEA∽△FBE；（3）若AB=15，EF=10，求tan∠AEF的值。
作业！！！快

Answer 1

(1)连AE，OE，
由∠CBE=∠OBE，
及∠OEB=∠OBE，
∴∠CBE=∠OEB，
∴BC‖EO。由EF‖AC，
∴∠EFA=∠CAB，∠EOA=∠CBA，
∴∠FEO=∠ACB=90°，
∴EF是圆O是切线。
（2）△FEA和△FBE中：
∠F是公共角，∠FEA=∠FBE（弦切角等于同弧所夹圆周角）。
∴△FEA∽△FBE。
（3）由∠AEF=∠ABE，
EF=10，OE=1/2·AB=7.5，
∴OF²=10²+7.5²=156.25，
∴OF=12.5，
FA=FO-AO=12.5-7.5=5.
由△FEA∽△EBO（∠F=∠OEB,∠FEA=∠EBO)
∴AE=AF=5,BE=√(15²-5²)=10√2,
∴tan∠AEF=tan∠ABE=EA/EB
=5/10√2
=√2/10.