如图,已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆O,∠B的平分线BE交AC于D,交圆O于E,

如图,已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆O,∠B的平分线BE交AC于D,交圆O于E,过E作EF//AC叫BA的延长线与F。(1)求证:EF是圆O切线;(... 如图,已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆O,∠B的平分线BE交AC于D,交圆O于E,过E作EF//AC叫BA的延长线与F。(1)求证:EF是圆O切线;(2)求证:△FEA∽△FBE;(3)若AB=15,EF=10,求tan∠AEF的值。
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lim0619
2010-05-27 · TA获得超过8.3万个赞
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(1)连AE,OE,
由∠CBE=∠OBE,
及∠OEB=∠OBE,
∴∠CBE=∠OEB,
∴BC‖EO。由EF‖AC,
∴∠EFA=∠CAB,∠EOA=∠CBA,
∴∠FEO=∠ACB=90°,
∴EF是圆O是切线。
(2)△FEA和△FBE中:
∠F是公共角,∠FEA=∠FBE(弦切角等于同弧所夹圆周角)。
∴△FEA∽△FBE。
(3)由∠AEF=∠ABE,
EF=10,OE=1/2·AB=7.5,
∴OF²=10²+7.5²=156.25,
∴OF=12.5,
FA=FO-AO=12.5-7.5=5.
由△FEA∽△EBO(∠F=∠OEB,∠FEA=∠EBO)
∴AE=AF=5,BE=√(15²-5²)=10√2,
∴tan∠AEF=tan∠ABE=EA/EB
=5/10√2
=√2/10.
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