Question

又遇到难题了，还想请各位大虾了！微分方程y’’+y’=zx2ex的特解应设为y*=( )

问题：
1。微分方程y’’+y’=2x2ex的特解应设为y*=( )
A.(Ax2+Bx+C)ex
B. (Ax2+Bx+C)xex
2。求曲线x2+(y-2)2=1所围图形绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积(答案4π2)

Answer 1

解：1。微分方程y''+y'=2x²e^x的特解应设为y=(Ax²+Bx+C)e^x
∵y'=(2Ax+B)e^x+(Ax²+Bx+C)e^x=[Ax²+(2A+B)x+B+C]e^x
y''=(2Ax+2A+B)e^x+[Ax²+(2A+B)x+B+C]e^x=[Ax²+(4A+B)x+2A+2B+C]e^x
代入原方程，得[2Ax²+(6A+2B)x+2A+3B+2C]e^x=2x²e^x
比较两边同类项系数，得2A=2............ (1)
6A+2B=0..........(2)
2A+3B+2C=0.......(3)
解方程(1),(2),(3),得A=1,B=-3,C=7/2
∴微分方程y''+y'=2x²e^x的特解是y=(x²-3x+7/2)e^x
故应该选择A.(Ax2+Bx+C)ex
2。所求体积=2∫(0,1)2π{[2+√(1-x²)]²-[2-√(1-x²)]²}dx (应用图形的对称性)
=32π∫(0,1)√(1-x²)dx
=32π∫(0,π/2)cos²tdt (用sint=x代换)
=16π∫(0,π/2)[1+cos(2t)]dt
=16π[t+sin(2t)/2]│(0,π/2)
=16π(π/2+0-0-0)
=8π²