Question

△ABC中，（AB＞AC），D为BC的中点，AE平分∠BAC，过D点的直线DE⊥AE于E，交AB于G，交AC延长线于H．

求证：① AG＝AH
② BG＝CH＝ ½（AB－AC）

Answer 1

① ∵AE平分∠BAC
∴∠GAE=∠HAE
∵DE⊥AE
∴∠GEA=∠HEA
∴△AGE≌△AHE(角边角)
∴AG=AH

② 过C作CM‖AB交GH于M
∴∠B=∠DCM
∵D为BC的中点
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠MDC（对顶角）
∴△BGD≌△CMD（角边角）
∴BG=CM
∵CM‖AB
∴∠CMH=∠AGH
又∵AG=AH
∴∠AGH=∠H
∴∠CMH=∠H
∴CM=CH
∴BG=CH
又∵AB-AC=AG+BG-(AH-CH)
=AG+BG-AH+CH
=AG+BG-AG+BG
=2BG
∴BG=CH=½(AB-AC)