Question

证明：函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

请大家证明

Answer 1

设 点P(Xo,Yo) 是函数f(x)上的点，
那么点P关于直线 x+y=a 的对称点Q的坐标设为 （X,Y )
我们来验证一下 该点Q的轨迹方程是什么。

连接 P，Q 两点 ， 交 直线 x+y=a 与 O 点（X3,Y3)
那么 Xo+X = 2*X3,
Yo+Y = 2*Y3
解得 X3,Y3 的代数式 代入 x+y=a (因为O点在直线上）
Xo + Yo + X + Y =2a ...... 式一
又因为 直线PQ 垂直于 直线 x+y=a
所以 直线PQ 的斜率 = 1
即 Yo-Y = Xo-X ...... 式子二

解式子一 与式子二 组成的关于Xo,Yo的方程组
容易 得到 Xo=a-Y, Yo=a-X
而 Yo=F(Xo)
所以 a-X=F(a-Y) , 这就是Q点的轨迹方程， 满足 题中的条件

综上 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称

Answer 2

此题按照以下类似的证明去做！

证明：函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称

证明：
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上
函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称

Answer 3

证明：
对于函数y = f (x)图像上任意一点（x,y）
其关于直线x +y = a的对称点为（a-y,a-x）

而a－x = f (a－y)
即：
点（a-y,a-x）在f (a－y)的图像上。

也就是说：
对于y = f (x)图像上任意一点，在a－x = f (a－y)的图像上都有确定的点与之对应且关于直线x +y = a对称！

故证！