Question

数学高手请进！！

若0<y<x,求x^3+7y=y^3+7x的整数解！
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还有一题，也可以回答一下：
一个整数加上二十六,得到的和是一个完全平方数，这个整数减去63，得到的差也是一个完全平方数，求这个整数。

Answer 1

由题得知
x^3 - y^3 = 7x - 7y
因为 x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)
所以有 (x-y)(x^2+xy+y^2) = 7（x-y)
因为 y<x,所 x-y不为0，两边同时除以 x-y
就有 x^2+xy+y^2 = 7
因为 x,y均大于0， 所以 x^2 + y^2 < 7
那么 x，y 能取的整数只有 1，2 （当 x 取 2以上的整数时 x^2 = 9 >7)
y<x，所以 x=2,y=1

Answer 2

(x-y)(x^2+xy+y^2-7)=0 x=2,y=1
第二题：这两个平方之差为89，a^2-b^2=(a+b)(a-b),而89只能分解为1、89，故为45^2、44^2,此数为44^2+63

Answer 3

y=1 x=2

Answer 4

若0<y<x,求x^3+7y=y^3+7x的整数解！
原式一项，合并得

(x-y)(x^2+xy+y^2-7)=0
所以
x=2,y=1