Question

请教一道高数题目

在下列二元函数中，二阶偏导数F''xy(0,0)不等于F''yx(0,0)的二元函数是
A,F(x,y)=(x^4)+2*(x^2)*(y^2)+(y^10)
B,F(x,y)=ln(1+(x^2)+(y^2))+cosxy
C,D选项书中的解答我看的懂，我就不写出来，其中关于A,B选项，书中的解答是这样的：
对于A,B,F(x,y)均是二元初等函数，F''xy(x,y)均连续，所以F''xy(0,0)=F''yx(0,0)
对于上面的这段解释，我有几个疑问，
1.什么是二元初等函数，如果是一元初等函数的话，书中的概念讲的相当清楚：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，所以类似y=x^x和y=|x|就不是初等函数，但是对于二元初等函数，我感觉对它的概念相当模糊，有谁能告诉我它的确切定义；
2.如果是我未写出的C,D选项中的那两个函数，书中是按求导公式求出它们的二阶导数去判断的，但是A,B选项却是由判断它们是二元初等函数之后就直接说它们的二阶偏导数是连续的，这是怎么回事，难道二元初等函数的二阶偏导数就连续吗？

Answer 1

对呀，我以前也是有这个疑问的，不过解决了。二元初等函数的二阶偏导数一定是连续的。不仅二元的是，其它的也是，不仅二阶的是，其它阶的也是。因为初等函数的导数或者是偏导数还是初等函数，而初等函数又都是连续的。而所谓二元初等函数，在我看来，只不过是把一元的x换成是x和y和混和，更多的元还是一样的。

Answer 2

二元初等函数是一元初等函数组合成的，你只要看它包含的都是一元初等函数，那它就是二元初等函数。
关于你问的第二个问题，书上有；你看一下同济版高数下册68页，这是一个定理书上说得很清楚，我都不用说了。