Question

如图,已知:AD平行于BC,∠1=∠2,∠3=∠4,点E在DC上,求证AD+BC=AB

如图,已知:AD平行于BC,∠1=∠2,∠3=∠4,点E在DC上,求证AD+BC=AB
(提示:在AB上取一点F,使AF=AD)
图见空间最后一张

Answer 1

这是一道很典型的初中几何问题，有必要详细解答一下
证明：
方法一：
在AB上截取AM＝AD，连接ME
因为AE平分∠DAB
所以∠DAE＝∠MAE＝∠DAB/2
又因为AE＝AE
所以△DAE≌△MAE（SAS）
所以∠DEA＝∠MEA，MA＝DA
因为BE平分∠CAB
所以∠ABE＝∠CBE＝∠CAB/2
因为DA//CB
所以∠DAB＋∠CAB＝180°
所以∠ABE＋∠EAB＝90°
所以∠BEA＝90
所以∠MEA＋∠MEB＝90°，∠DEA＋CEB＝90°
所以∠MEB＝∠CEB
又因为BE＝BE
所以△BCE≌△BME（ASA）
所以MB＝CB
所以AB＝MB＋MA
即AD＋BC=AB
方法二：
延长AE与BC的延长线交于F
因为DA//CB
所以∠DAF＝∠F
因为AE平分∠CAB
所以∠DAF＝∠ABF
所以∠ABF＝∠F
所以AB＝BF
因为BE平分∠CAB
所以根据“三线合一”性质得AE＝FE
（实际上还能得到BE⊥AF，这也是方法一中证明的一个结论，但证法不同）
因为∠DEA＝∠CEF
所以△DAE≌△CFE（AAS）
所以DA＝CF
所以AB＝BF＝CB＋CF＝DA＋CB
所以AD＋BC=AB
方法三：
取AB的中N，连接EN
证明E是中点后，EN就是中位线，
所以2EN＝AD＋BC，
而△DEC是直角三角形（BE⊥AE上面已经证明）
则EN是斜边AB上的中线，所以2EN＝AB
所以AD＋BC=AB

供参考！江苏吴云超祝你学习进步
（详细的相关问题见我的空间，今天不能发网址，郁闷）

Answer 2

证明：
延长CE交BA延长线于F
∵E是AD中点
∴EF=EC
∵AB//CD
∴∠F=∠4
又∵∠AEF=∠DEC
∴△AEF≌△DEC
∴AF=DC
∵∠F=∠4，∠3=∠4
∴∠F=∠3
∴BF=BC
即BA+AF=BC
即BC=AB+CD

Answer 3

在AB取一点F使AF=AD
∵AD=AF AE=AE ∠1=∠2
∴△ADE≌△AEF
∴∠AFE=∠ADE
∵AD‖BC ∠AFE=∠ADE ∠AFE与∠EFB互补
∴∠EFB=∠BCE
∵∠EFB=∠BCE ∠3=∠4 EB=EB
∴△EFB≌△ECB
∴FB=BC
∵AD=AF FB=BC AF+BF=AB
∴AD+BC=AB
可能过程简单了些，单仔细想想可以证明的。

Answer 4

就在AB上取一点F,使AF=AD，那么可以证明△ADE≌△AFE，那么∠ADE=∠AFE，
因为AD平行于BC，所以∠ADE + ∠BCE = 180°，又∠AFE + ∠BFE = 180°，
所以∠BCE=∠BFE，加上∠3=∠4，BE=BE，可证明△BFE≌△BCE，所以BF=BC，
AB=AF+FB=AD+BC

Answer 5

证明：在ab上截取af，使af=ad，连接ef
在△ade和△afe中
∵af=ad
∠1=∠2
ae=ae
∴△ade≌△afe
∴∠d=∠afe
∵ad∥bc
∴∠d+∠c=180°
∵∠afe+∠efb=180°
∴∠efb=∠c
在△bec和△bef中
∵∠efb=∠c
∠3=∠4
be=be
∴△bec≌△bef
∴bf=bc
∵ab=af+bf
∴ab=ad+bc．

Answer 6

证明：在AB上截取AF，使AF=AD，连接EF
在△ADE和△AFE中
∵AF=AD
∠1=∠2
AE=AE
∴△ADE≌△AFE
∴∠D=∠AFE
∵AD∥BC
∴∠D+∠C=180°
∵∠AFE+∠EFB=180°
∴∠EFB=∠C
在△BEC和△BEF中
∵∠EFB=∠C
∠3=∠4
BE=BE
∴△BEC≌△BEF
∴BF=BC
∵AB=AF+BF
∴AB=AD+BC．