Question

请教一个高数问题

题目：若可微函数z=f(x,y)在极坐标系下只是θ的函数，证明：
x(∂f/∂x)+y(∂f/(∂y)=0(r不等于0)
这是书中的解答:
由z=f(rcosθ,rsinθ)与r无关，则∂z/∂r=0
又 ∂z/∂r=(∂f/∂x)(∂x/∂r)+(∂f/∂y)(∂y/∂r)==(∂f/∂x)cosθ+(∂f/∂y)sinθ=(1/r)(x(∂f/∂x)+y(∂f/∂y)),则x(∂f/∂x)+y(∂f/∂y)=0
关于以上的解答我有一个疑问百思不得其解：
既然函数与r无关，那么在求导时r相当于常数，于是∂z/∂r=0，但是对于接下来的∂z/∂r=(∂f/∂x)(∂x/∂r)+(∂f/∂y)(∂y/∂r)==(∂f/∂x)cosθ+(∂f/∂y)sinθ
这一步，明显是将r看成自变量，才会得出∂x/∂r=cosθ,∂y/∂r=sinθ,但是现在函数和r无关，那么r怎么可以看成自变量看待呢，无关的话应该只能看成是常数，那么对常数求导就应该等于0，那么应该是∂x/∂r=0,∂y/∂r=0，这是怎么回事？

Answer 1

r与z无关,并不代表r为常数
比如z=y/x=tanθ与r无关,但r不为常数
同时可看成z=rsinθ/rcosθ=f(r,θ)为二元函数,用相应法则求偏导数
我们不关心该变量是否自身相消
同样∂x/∂r=∂(rcosθ)/∂r=∂(r,θ)/∂r
∂为偏导数符号,打不上

Answer 2

“但是现在函数和r无关，那么r怎么可以看成自变量看待呢，无关的话应该只能看成是常数”，这句话有问题。
就算r与f无关，但是并不妨碍把r看成是f的自变量，有很多时候，需要找一个函数的中间变量，我们并没有管这个中间变量是否真的和f，只要它能够达到目的就可以了，其实只需要找一个例子，你就能信服了。

Answer 3

已知与r无关的是z，并不是x或y

x对r的偏导、y对r的偏导可能都不为0，但经过f(x,y）的函数运算之后得到的z对r的偏导为0

Answer 4

应该是复合函数的概念问题,看下基础就明白了