Question

一道高一数列问题~急~~~~

数列｛An｝满足a(1)=1,a(2)=6,S(n)=3S(n-1）-2S(n-2)+2^n(n>=3)
求Sn

Answer 1

S(n)=3S(n-1)-2S(n-2)+2^n
S(n)-S(n-1)=2S(n-1)-2S(n-2)+2^n
a(n)=2a(n-1)+2^n
a(n)-n2^n=2a(n-1)-(n-1)2^n
a(n)-n2^n=2[a(n-1)-(n-1)2^(n-1)]
因此构造出数列b(n)=a(n)-n2^n
即有：b(n)=2b(n-1)，且b(1)=a(1)-2=-1，b(2)=a(2)-8=-2
这是一个公比为2的等比数列，b(n)=-2^(n-1)
所以a(n)-n2^n=-2^(n-1)
即 a(n)=n2^n-2^(n-1)

S(n)=(1*2^1+2*2^2+...+n*2^n)-[2^0+2^1+...+2^(n-1)]
=(1*2^1+2*2^2+...+n*2^n)-(2^n-1)

设A=1*2^1+2*2^2+...+n*2^n
则2A=1*2^2+2*2^3+...+n*2^(n+1)
因此A=2A-A=n*2^(n+1)-2^n-2^(n-1)-...-2^2-2^1
=n*2^(n+1)-[2^(n+1)-2]

故S(n)=A-(2^n-1)
=n*2^(n+1)-[2^(n+1)-2]-(2^n-1)
=(2n-3)×2^n+3

Answer 2

由已知 Sn-S(n-1)=2[S(n-1)-S(n-2)]+2^n
即an=2a(n-1)+2^n 两边同除2^n
得an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1
令bn=an/2^n 则bn=b(n-1)+1
bn为等差数列 bn=n-1/2 an=2^n(n-1/2)
错位相减法即可求得Sn

Answer 3

Sn-S（n-1）=2S（n-1）－2S(n-2)+2^n
所以 an=2a(n-1)+2^n (n>=2)
两边除以2^n 得 an/(2^n)=a(n-1)/(2^(n-1))+1 （n>=2)
可以知道 {an/(2^n)}为等差数列

设 bn=an/(2^n) (n>=2)
b2=3/2,b3=3/2+1=5/2,bn=1/2+n
an=(1/2+n)*2^n(n>=2)
Sn=1/2(2^2+2^3+2^4+…+2^n)+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n+a1
后面那个式子用错位相减发进行计算
Sn=（2^n-2）+(n*2^(n+1)-2^(n+1))+1
Sn=n*2^(n+1)-2^n-1

Answer 4

S(n-2) = S(n-1) - a(n-1) (n>=3)
将上式代入原式后，整理得:
Sn = S(n-1) + a(n-1) + 2^n (n>=3)
即 a(n) = a(n-1) + 2^n (1) (n>=3)
且 Sn = a1 + a2 + ...+a(n)
由（1）式可得：
Sn = a1 + (n-1)*a2 + 一个等比数列的和（该等比数列：首项为2^3，末项为2^n,等比为3，项数为（n-2）） (n>=3)
结果为：
S1 = a1 = 1
S2 = a1 + a2 = 7
Sn = n/2*2^n - 2^n + 10n - 13 (n>=3)

Answer 5

Sn-S(n-1)=2S(n-1)-2S(n-2)+2An
An=2A(n-1)+2An
An=-2A(n-1)
所以在n大于等于2时、{An}为公比是-2的等比数列
n=1时、An=1
所以
Sn=1 当n=1时
=6[1-(-2)n次方]/3=2[1-(-2)n次方] 当n大于等于2时