Question

高中数学竞赛不等式 高分赏 高手进

设x、y、z>=0,且x^2+y^2+z^2=1
求证：x/(1-yz)+y/(1-zx)+z/(1-xy)<=3(√3)/2

求各位高手给详解，不慎感激。

Answer 1

详见图片

Answer 2

不妨设x,y,z都是正数（因为x,y,z中有一个0或两个0的情形都很简单，不再赘述）,从而 0<x,y,z<1。
首先，有
x/(1-yz)≤x/(1-(y^2+z^2)/2)
= 2x/(2-y^2-z^2)
= 2x/(1+x^2)
于是 x/(1-yz)+y/(1-zx)+z/(1-xy)
≤ 2x/(1+x^2) +2y/(1+y^2)+ 2z/(1+z^2)
≤ 2(√3) *{x/√3(1+x^2) +y/√3(1+y^2)+ z/√3(1+z^2)}
≤ (√3) *{(1/3+x^2)/(1+x^2) +(1/3+y^2)/(1+y^2)+
(1/3+z^2)/(1+z^2)}
= (√3) *{3-(2/3)*( 1/(1+x^2) +1/(1+y^2)+ 1/(1+z^2))
再由 柯西不等式，得
（1+x^2+1+y^2+1+z^2)*( 1/(1+x^2) +1/(1+y^2)+ 1/(1+z^2))≥9
所以 ( 1/(1+x^2) +1/(1+y^2)+ 1/(1+z^2))≥9/4
因此 x/(1-yz)+y/(1-zx)+z/(1-xy)
≤ (√3) *{3-(2/3)*(9/4)}=3(√3)/2