Question

已知1/3≤a≤1，若f（x）=ax2-2x+1在区间〔1，3〕上的最大值为M（a），最小值为N（a），

令g（a）=M（a）-N（a），
(1)求g（a）的解析式;
(2)判断g（a）的单调性，并求出g（a）的最小值。

Answer 1

f(x)为 二次函数， 开口向上 ， 对称轴为 x= 1/a
因为 1/3≤a≤1 ， 所以 对称轴 的范围 为 [1,3]
最小值 N(a)= 2- 2/a
最大值 分类讨论如下：
当 3>=1/a >=2 时 ， 即 1/3≤a≤1/2
M(a)= f(1)= a - 1
当 1/2<a≤1 时 M(a)=f(3)= 9a -5
所以 g(a)= a+2/a -3 (1/3≤a≤1/2)
=9a+2/a -7 (1/2<a≤1 )

求导函数 G'(x)= 1-2/a^2 在 1/3≤a≤1/2 区间内 恒小于0，g(a)单调减
G'(x)= 9-2/a^2 在 1/2<a≤1 区间内 恒大于0， g(a)单调增
易知， a=1/2 时 g(a)有最小值 为 3/2

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Answer 2

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