Question

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x属于R,都有f(x-1)=f(x+3),

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x属于R,都有f(x-1)=f(x+3),当x属于[4,6]时，f(x)=2^x+1,设函数f(x)在区间[-2,0]上的反函数为f-1(x),则f-1(19)的值为

Answer 1

∵对任意x属于R,都有f(x-1)=f(x+3)即f(x)=f(x+4),函数的周期为4
当x属于[4,6]时，f(x)=2^x+1,

∴x属于[0,2]时，x+4属于[4,6],有f(x)=f(x+4)=2^(x+4)+1
x属于[-2,0]时，-x属于[0,2],有f(x)=f(-x)=2^(-x+4)+1
∵函数f(x)在区间[-2,0]上的反函数为f-1(x),
∴ f-1(19)即为 f(x)=19时的x的值
令2^(-x+4)+1=19
解得 x=log2(9)-3

∴f-1(19)的值为log2(9)-3

Answer 2

对任意x属于R,都有f(x-1)=f(x+3)即f(x)=f(x+4),函数的周期为4
当x属于[4,6]时，f(x)=2^x+1,

则x属于[0,2]时，x+4属于[4,6],有f(x)=f(x+4)=2^(x+4)+1
x属于[-2,0]时，-x属于[-2,0],有f(x)=f(-x)=2^(-x+4)+1
令2^(-x+4)+1=19
解得 x=log2(9)-3

则f-1(19)的值为log2(9)-3

Answer 3

任意x属于R,都有f(x-1)=f(x+3)即f(x)=f(x+4),函数的周期为4
当x属于[4,6]时，f(x)=2^x+1,

则x属于[0,2]时，x+4属于[4,6],有f(x)=f(x+4)=2^(x+4)+1
x属于[-2,0]时，-x属于[-2,0],有f(x)=f(-x)=2^(-x+4)+1
令2^(-x+4)+1=19
解得 x=log2(9)-3