Question

有关二元函数极限的疑惑

书上说二元函数极限必须是以任何方式接近都是同一个极限值，那么二元函数在这个点才有极限值。举个例子f（x，y）=xy^2/(x^2+y^4)在(0,0)处的极限.我设y=kx（所有的直线方式趋近），极限为0，我设y=x^k（以这条曲线接近（0，0）点），算出的极限不为0，根据书上所讲，这个函数在（0，0）点无极限，我疑惑的正是这一点，前面我们知道所有直线方式趋近都有极限0，而以曲线趋近时，那条曲线上的点都可以找到那些直线上的点一一对应，为什么最后他的极限不为0，难道曲线上有点是无法在直线上找到的吗？，我知道自己说的都是感觉，肯定是错的（因为确实按曲线算极限不为0），谁能告诉我我错在哪里，谢谢，期待高手解答。

Answer 1

你提了很好的问题。现在我们可以再分析一下这道题。
设y=x²，则f(x,y)=x³/(x²+x^8)。
由于当x→0时，x^8相对于x²是高阶无穷小，可忽略。则有：
f(x,y)=x³/x²=x=0
再设y=x^(¼),则f(x,y)=x^(3/2)/(x²+x)。
当x→0时，x²相对于x是高阶无穷小，可忽略。则有
f(x,y)=x^(3/2)/x=x^(1/2)=0
在以上两种情况下，f(x,y)的极限为0。
可是若设y=x^(0.5)或y=√x，则
f(x,y)=x²/(x²+x²)=1/2。
此时x→0时，f(x,y)是一个常数。
你的问题是：“那条曲线上的点都可以找到那些直线上的点一一对应，为什么最后他的极限不为0，难道曲线上有点是无法在直线上找到的吗？”
现在我们看看什么直线（y=kx）与这条曲线（y=√x）在趋近0时是一致的。显然，这条直线必须是此曲线在x=0时的切线。
由于曲线y=√x的一阶导数是：
y′=1/(2√x)
所以此曲线在x=0处切线的斜率是无穷大（k=∞）。由于（k=∞），除x=0外，任何一个非0的x值都会使y值无穷大。这样，除x=0外，曲线y=√x上的点确实无法在此直线上找到一个对应的近似值。这样你的问题所得到的回答是肯定的。

Answer 2

直线上的点趋近原点的规律是确定的（比如说y=kx)，而其他的曲线接近原点的规律显然与直线不同，所以不能说他们的极限就是一样的。
你令x=ρcosθ,y=ρsinθ,带入f(x,y)有
f=ρcosθ(sinθ)^2/
(cosθ)^2+ρ^2(sinθ)^4
p是趋向于0的，故
y=ρ(sinθ)^2/cosθ
因为cosθ与x有关的，你知道吧。
虽然ρ趋向于0，但是cosθ是可以任意取-1到1之间的数，这是由曲线的接近方式决定的。所以极限不存在。