Question

高中数学竞赛不等式 高分赏 高手进

设a、b、c∈R+，求证：a/（1+a+ab）+b/（1+b+bc）+c/(1+c+ca)≤1

各位高手帮忙给出详细解答咯！不甚感激！
题目没有问题啊，洪耀伟123，你给的数据算出的答案是59/60哦

Answer 1

说明：均值不等式是同次同倍的转化，分子为1次，分母有常数，1次，2次，

所以可以用均值将常数、2次转化为1次，易知此题对称，取等条件为a=b=c=1，可放心使用均值

证明：因为1+ab>=2√ab,所以1+a+ab>=a+2√ab,

所以a/(1+a+ab)<=a/(a+2√ab)=√a/(√a+2√b)

同理b/(1+b+bc)<=√b/(√b+2√c)

    c/(1+c+ca)<=√c/(√c+2√a)

取等条件为a=b=c=1

所以a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca)

<=√a/(√a+2√b)+√b/(√b+2√c)+√c/(√c+2√a)

=[√a/(√a+2√b)+√b/(√b+2√c)+√c/(√c+2√a)]*[(√a+2√b)+(√b+2√c)+(√c+2√a)]/[3(√a+√b+√c)](乘一个，比一个）

=[√a+√b+√c]

一下就放过了！！没天理了！！唉！！

重证：以a为主元整理，分析法证明，过程太长，见图吧！没有找到简单方法，遗憾！！

Answer 2

证明：令abc=k
左边=ac/(c+ac+k)+b/((abc/k)+b+bc)+c/(1+c+ca)
=ac/(c+ac+k)+1/((ac/k)+1+c)+c/(1+c+ca)
(易见当k=1,左边=1）
左式减去1,得：
ac/(c+ac+k)+1/((ac/k)+1+c)-ac/(c+ac+1)-1/(ac+1+c)
证其<=0即可。下略。

Answer 3

我在我的空间里给了一种方法，看能不能帮上你
http://hi.baidu.com/ayumimemory/blog/item/caa49525a87c1d1a8a82a1fa.html

Answer 4

此题有误.取a=b=1,c=0.5，不等式a/（1+a+ab）+b/（1+b+bc）+c/(1+c+ca）＞1。
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Answer 5

用换元法的简单解法: