Question

跪求解两道大1高等代数题

1.设A为3阶零幂矩阵,求A可能的若当标准形
2.证明:n*n数字矩阵A一定有n个不变因子,并且它们的乘积等于A的特征多项式

Answer 1

第一题需要一个结论：一个矩阵是幂零矩阵当且仅当它的特征值全是零，这是因为，如果A^m=O,那么，它的最小多项式一定是x^m=0的因式，由于最小多项式的根一定是0，从而A的特征值全为零。反过来，如果A的特征值全为零，则A的特征多项式是x^n=0，由哈密尔顿凯莱定理，A^m=O，从而A是幂零矩阵。A的弱而当标准形只需要令其主对角线上都是0就可以了，次对角线上的1和0怎么排都对。
第二题是书上的结论，数字矩阵的特征矩阵一定满秩，所以结论成立。

Answer 2

幸好大学没选修高数啊！