Question

2的平方加3的平方一直加到32的平方的和是多少

小学四年级的题，回答时请考虑其掌握的知识。
问题是小学四年级没学过立方差怎么办?
jwde的方法基本可以，但是总觉得是从答案开始推过程的。我在考虑能否用
2+2
3+3+3
4+4+4+4
5+5+5+5+5
...
32+32+...
这样的求和方式来解决。
比如把这个三角形补足为正方形，然后把补过来的三角形和现在已有的差异找出来，就能算出来。
还没想好，期待高手。

Answer 1

这个。。。。用小学的知识是完全不可能解答的吧。。除非你慢慢加。。

要不我给你推一推这个公式好啦

先推另一个公式好啦（太麻烦 我用*代×好啦）

1*2+2*3+3*4+……+（n-1）*n

我们将1*2拆分，变成1*2*3-0*1*2  这样提出1*2就会多出3倍

同样  2*3          2*3*4-1*2*3  这样同样是多出啦三倍

依次类推

那么总的式子就可以写成下面的形式

1*2+2*3+……+n*（n+1）

=1/3 *【1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+……+ n*（n+1）（n+2）   -（n-1）*n*（n+1）】

好多的项都可以约掉

所以原式=1/3 * n*（n+1）（n+2）   

有了以上的知识以后

1²+2²+……+n²

=1*1+2*2+3*3+4*4+……n*n

1可以拆分为2-1

2          3-1

3          4-1

…………………

n          （n+1）-1

所以原式=（2-1）*1+（3-1）*2……+【（n+1）-1】*n

        =1*2+2*3+3*4+……+n *（n+1）  -1-2-3-4-5-……-n

        =1/3 *n*（n+1）*（n+2）-  1/2 *n*（n+1）

        =1/6[2*n*(n+1)*(n+2)-3*n*(n+1)]   (注 这步是通分)

        =1/6[n*(n+1)*(2n+4)-3*n*(n+1]（把2乘到（n+2）里去把3先放着）

        =1/6{[n*(n+1)]*[2n+4-3]}

        =1/6 n*(n+1)*(2n+1)

这样就可以算了 

不过在这个题目中要注意前面的1的平方 要减去

所以结果为11439 

这样就不需要用立方差

至于立方差你到初中在学好了 

楼主所说的方法在推导平方的和我目前发现似乎是不行的

在中考卷上我们发现一道题目 实质是微积分的题目 可是过程是推导微积分的过程，需要用到这个公式。那个时候我们全班的数学尖子们想过这个方法，可是没试出来。但是解决这个问题之后我想出另一个问题，可以用这个方法来推导，那就是求  1³+2³+……+n³ 的问题

画的可能也不是很准 楼主可以用圆规来准确得画画 我就做个示范 楼主这样就不会画错了（我发现似乎长3的那个画错了，楼主注意一下好了，我家的电脑有问题，图片很难传，就将就一下好了）

那么注意 我们要求的是立方 那么，例如152³，可以化规为152²×152，用几何来说明，就是152个边长为152的正方形的面积和。

画第一个正方形的对角线，并延长，那么在图中我们可以发现，凡是奇数行的正方形那条线通过中间正方形的对角线，凡是偶数行的正方形那条线通过最中间两个正方形中间的线的中点。那么这么一来这条线总把整个面积分为相同的两部分，而一部分是非常好求的三角形。因为是正方形，所以那肯定是一个等腰直角三角形（不会连这个都没学过吧。。。），那么它的边长就是（1+2+3+……+n），楼主注意观察就可以得到的。

那么这个等腰直角三角形的面积就是1/2 *[1/2*  n*(n+1)]²（这个楼主细心一些应该看得懂吧，因为1+2+3+……+n=1/2* n*（n+1），边长就是这个）

又是因为有两部分 这两部分的面积又相等

所以1³+2³+3³+……+n³=  [1/2*  n*(n+1)]²

Answer 2

2^2+3^2+……32^2=(1/6)*32*(32+1)*(2*32+1)-1=11439

Answer 3

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

我补充这个证明，然后代入即可，至于其他没想到更好的方法