Question

三角形ABC中，AD是BC上的高，BE是AC上的高，AD，BE相交点F，联CF，且AC=BF，判断角ABC，角FCB的关系说明？

Answer 1

详见图片

Answer 2

∠ABC=∠FCB。理由如下：

延长CF交AB于G，F是高AD，BE的交点，

F是△ABC的垂心，∴CG⊥AB。

由AC=BF，

∠GBF+∠BAC=90°，

∠GCA+∠BAC=90°，

∴∠GBF=∠GCA，

∴△GBF≌△GCA（A,S,A)

∴BG=CG,

∴∠ABC=∠FCB。

证毕。

Answer 3

∠ABC=∠FCB=45°
证明如下：
因为∠AFE=∠BFD(对顶角相等)
∠BDF=∠AEF=90°
所以△BFD相似于△AFE
所以∠DAC=∠EBC
又因为AC=BF(已知)
∠DAC=∠FBD(已证)
所以△ACD全等于△BFD(HL定理)
所以CD=FD,AD=BD
即△ADB与△CDF均为等腰直角三角形
所以∠ABC=∠FCB=45°