Question

高一数学必修二立体几何初步

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=PB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。
1.点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
2.证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF。

Answer 1

1）联结EF，
因为EF是三角形PBC中位线，
所以EF‖PC，
且PC属于平面PAC，
所以EF‖平面PAC。
2）题干如果是PA=AB=1那么
因为PA⊥平面ABCD，
且PA属于平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABCD，
CB⊥交线AB，
所以CB⊥平面PAB，
且AF属于平面PAB，
所以CB⊥AF，
因为PA＝AB，F为PB中点，
所以AF⊥PB，
因为CB、PB属于平面PCB，
所以AF⊥平面PCB，
因为E在CB上，
所以PE始终在平面PCB上，
所以无论E在何处都有AF⊥PE

Answer 2

1.点E为BC的中点时，EF‖平面PAC
∵点F是PB的中点,点E为BC的中点
∴⊿PCB内，EF‖PC
∵平面外一直线和这一平面内一直线平行，那么这条直线与这个平面平行
∴EF‖平面PAC
2.∵PA⊥底面ABCD，PA=AB=1
等腰直角三角形PAB,点F是PB的中点,∴AF⊥PB
假定点E为BC的中点。EF=(1/2)PC
PC²=PA²+AC²=1+AB²+AD²=1+1+9=11,EF²=11/4
AF=√2/2,AF²=1/2,AE²=1+(3/2)²=1+9/4=13/4
∵AE²=EF²+AF² ∴AF⊥EF
∵AF垂直于平面PBC内两条相交直线。
∴AF⊥平面PBC
∴无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF

Answer 3

ABCD空间四边形，则有：
与点A和平面BCD距离相等的平面有1个，该平面与四个顶点距离相等。
与点B和平面ACD距离相等的平面有1个，该平面与四个顶点距离相等。
与点C和平面ABD距离相等的平面有1个，该平面与四个顶点距离相等。
与点D和平面ABC距离相等的平面有1个，该平面与四个顶点距离相等。
与异面直线AB与CD距离相等的平面有1个，该平面与四个顶点距离相等。
与异面直线AC与BD距离相等的平面有1个，该平面与四个顶点距离相等。
与异面直线AD与BC距离相等的平面有1个，该平面与四个顶点距离相等。
一共有7个平面

Answer 4

1.EF//平面PAC
证明：因为E,F分别为BP,BC的中点，则EF//PC;
又因为PC在平面PAC内，EF不在平面PAC内
所以EF//平面PAC

Answer 5

题目错误： “PA⊥底面ABCD，PA=PB=1”， “平面到空间一点，垂线距离最短”，故PA<PB，原命题PA=PB不存在。