Question

数学设△abc的内角a.b.c所对边长分别为a.b.c,且acosb—bcosa=2c.（1）求证：tanA=-3tanB(2)求C最大值。

Answer 1

(1)因为a/sina=b/sinb=c/sinc=2R
所以a=2Rsina b=2Rsinb c=2Rsinc
带入等式得sinacosb-sinbcosa=2sinc=2sin(a+b)
化简得sinacosb=-3cosasinb 两边同时除以cosacosb即可得tanA=-3tanB
(2)因为cosb=a²+c²-b²/2ac,cosa=b²+c²-a²/2bc
带入等式得a²-b²=2c²
又cosC=a²+b²-c²/2ab
所以cosC=（1/2a²+3/2b²）/2ab
又1//2a²+3/2b²>=√3ab又C为三角形内角
所以√3/2=<cosC<1
所以C最大为30°

这种题目，要么统一化成边来做，要么统一化成角来做

Answer 2

∵a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
∴由acosb—bcosa=2c得sinacosb-sinbcosa=2sinc=2sin(a+b)
=2sinacosb+2cosasinb
∴sinacosb=-3sinbcosa, 两边同时除以cosacosb得
tanA=-3tanB
可知B是锐角
tanC=-tan(A+B)
=-(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)
=2tanB/(1+3(tanB)^2)
≤2tanB/2根号3tanB
=根号3/3=tan30°
C最大为30°

Answer 3

（1）证明：由正弦定理，a/c=sinA/sinC,b/c=sinB/sinC
由acosB-bcosA=2c整理得(acosB)/c-(bcosA)/c=2
将上面两等式代入，得(sinAcosB)/sinC-（sinBcosA)/sinC=2
所以
sinAcosB-sinBcosA
=2sinC=2sin[π-(A+B)]
=-2sin(A+B)
=-2sinAcosB-2cosAsinB
所以sinAcosB=-3sinBcosA
两边同时除以cosAcosB
得tanA=-3tanB.

(2)解：由（1）证得tanA=-3tanB
所以
tanC
=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)
=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=2tanB/(1+3tanB*tanB)
=2/(1/tanB+3tanB)≤2/(2√3）=1/√3
所以tanC最大为1/√3，即C最大为30度

Answer 4

acosb-bcosa=2a
=>sinacosb-sinbcosa=2sinc
=>sinacosb-sinbcosa=2sin(a+b)
=>sinacosb-sinbcosa=2(sinacosb+cosasinb)
=>sinacosb=-3cosasinb(两边同除以cosacosb)
=>tanA=-3tanB