Question

已知线段PA垂直于矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB PC中点。求证：MN平行PAD

Answer 1

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点，
（1）求证：MN平行平面PAD
(2)求证：MN⊥CD
(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD

证明：

（1）连接AC，取其中点为Q。
在三角形PAC中，QN//PA；在三角形ABC中，MQ//BC//AD
面QMN//面PAD
则MN//面PAD
（2）AB垂直于PA，故AB垂直于QN，
QM//BC，故AB垂直于QM
故AB垂直于面QMN，则AB垂直于MN，MN垂直于CD
（3）取PD中点R，因为CD垂直于面PAD，故AR垂直于CD
等腰直角三角形PAD中，AR垂直于PD
故AR垂直于面PCD。
又因为，NR平行且等于1/2DC//=1/2AB=AM,
故四边形RAMN是平行四边形，AR//MN
所以MN垂直于面PCD