Question

线性代数问题证明若矩阵A可逆，则A可表示成一系列初等矩阵的乘积。。求高手 求老师帮忙。。。证明一下

重谢

Answer 1

证：
若A可逆，则A的秩为n。
所以可经初等变换化为标准形，且P1P2...PsAQ1Q2...Qt=E。
Pi(i=1...s)是使A进行行变换的初等矩阵，Qj(j=1...t)是使A进行列变换的初等矩阵。
又因为Pi的逆pi (i=1...s) 与 Qj的逆qj (j=1...t) 仍是初等矩阵。
所以A=ps...p2p1Eq1q2...qt=ps...p2p1q1q2...qt.
故A可表示成一系列初等矩阵的乘积。

Answer 2

证：因为A可逆，则A可以用初等行变换变为单位矩阵E，
即：Ps...P1A = E（ Pi 是初等矩阵）
所以 A = P1^-1 ... Ps^-1（ Pi^-1表示逆矩阵）
因为 Pi 是初等矩阵, 故 Pi^-1 也是初等矩阵.
这样A就表示成了初等矩阵的乘积