Question

急！在数列{an}中,已知a1=1/4,an+1/an=1/4

在数列{an}中,已知a1=1/4,a(n+1)/an=1/4，bn+2=3log1/4an(n属于正整数）求：1、数列{an}的通项公式2、求证数列{bn}是等差数列3、设数列{cn}满足cn=an+bn,求{cn}的前n项和Sn

Answer 1

1
an是个等比数列，由于a1=1/4,公比 q=1/4, 所以得到an=(1/4)^n

2
由题意可得b(n+1)+2=3log1/4a(n+1)
b(n)+2=3log1/4a(n)
两式相减得到b(n+1)-b(n)=3（log1/4a(n+1)-log1/4a(n)）=3log1/4【a(n+1)/an】=3log1/4(1/4)=3
且b1+2=3log1/4(a1)=3 所以b1=1
所以bn是个公差为3, 首相为1的等差数列

3
cn可以看做一个等差数列和等比数列的和
所以他的前n相和可以分开求，再相加就行

Answer 2

因为数列{an}为等比数列，a1＝1/4，q＝1/4
所以，an=1/4×(1/40^(n-1)=(1/4)^n
因为，bn+2=3log1/4an=3log1/4(1/4)^n=3n
所以bn=3n-2
因为，b(n+1)-bn=3
所以，bn为等差数列
因为，数列{cn}满足cn=an·bn
所以，cn=（3n-2）×(1/4)^n
Sn=1/4+4×(1/4)^2+7×(1/4)^3……+(3n-2)×(1/4)^n
Sn/4= (1/4)^2+4×(1/4)^3……+(3n-5)×(1/4)^n+(3n-2)(1/4)^(n+1)
上下两式相减得（错位相减法）:
3Sn/4=1/4+3×(1/4)^2+3×(1/4)^3+……+3×(1/4)^n －(3n-2)(1/4)^(n+1) （中间用等比数列求和）
＝1/4 +1-(1/4)^n－(3n-2)(1/4)(n+1)
3Sn=5-(3n+2)×(1/4)^n
所以，Sn=[5-(3n+2)×(1/4)^n]/3