已知两个自然数的差是30,他们的最小公倍数与最大公约数的差是450,求这两个数

匿名用户
2014-03-18
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设它们的最大公约数为n,这两个自然数分别为an和bn(a与b互质),它们的最小公倍数为abn。列方程
an-bn=30 n(a-b)=30
abn-n=450 n(ab-1)=450
1)当n=1时 ab-1=450 ab=451 a-b=30 得a=41,b=11;
2)当n=2时 ab-1=225 ab=226 a-b=15 无正整数解;
3)当n=3时 ab-1=150 ab=151 a-b=10 无正整数解;
4)当n=5时 ab-1=90 ab=91 a-b=6 得a=13,b=7;
当n=6、10、15、30时,均无正整数解。
这两个数分别为41和11或13X5=65和7X5=35 2.为了方便解释我假设这两个数的最大公约数为t,那么这两个数可以用at,bt表示,其中很重要的一个隐含条件是a,b互质,根据已知条件我们知道at-bt=30,这两个数的最小公倍数显然是abt,这个很好理解,第二个条件列出方程abt-t=450,然后就不好做了吧~之后我们需要将t提出来变成(a-b)t=30,
(ab-1)t=450,显然t为最大公约数不等于0,所以两数相除得到(ab-1)/(a-b)=15,这是个2次方程不容易求解,但是我们可以观察下,(a-b)t=30
,所以(a-b)是30的约数(a-b)可能的取值为1,2,3,5,6,10,15,30;对应的(ab-1)的取值为15,30,45,75,90,150,225,450;对应到ab为16,31,46,76,91,151,226,451,然后再对ab对应的数字进行因数分解,看看哪几种情况满足条件,中间分解过程就不多说了,分解之后发现ab=91和ab=451满足要求,对于第一个解a=13,b=7,
对应a-b=6,t=5,求出两个数为65,35
对于第二个解,a=41,b=11对应的t=1,所以两个数为41,1
万卷楼的阿嚏
2014-03-18 · TA获得超过1997个赞
知道小有建树答主
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41,11和65,35两组答案。
设它们的最大公约数为n,这两个自然数分别为an和bn(a与b互质),它们的最小公倍数为abn。列方程
an-bn=30 n(a-b)=30
abn-n=450 n(ab-1)=450
1)当n=1时 ab-1=450 ab=451 a-b=30 得a=41,b=11;
2)当n=2时 ab-1=225 ab=226 a-b=15 无正整数解;
3)当n=3时 ab-1=150 ab=151 a-b=10 无正整数解;
4)当n=5时 ab-1=90 ab=91 a-b=6 得a=13,b=7;
当n=6、10、15、30时,均无正整数解。
这两个数分别为41和11或13X5=65和7X5=35
追问
小学数学,这么可学不会
追答
这是奥数题。
两个自然数的差为30,可以说明一个问题,他们的最大公约数是30的约数。而最小公倍数也是最大公约数的倍数。而最小公倍数除以最大公约数的商应可以表示成两个互质数的乘积。可以用列举法求解
若最大公约数是30,则最小公倍数是480, 480÷30=16,没有符合要求的数
若最大公约数是15,则最小公倍数是465,465÷15=41,41=41×1, 没有符合要求的数
若最大公约数是10,则最小公倍数是460,460÷10=46,46=2×23=1×46, 也没有符合要求的数
若最大公约数是5,则最小公倍数是455,455÷5=91,91=7×13=1×91,那么原数是35和65,符合要求。
若最大公约数是3,,453÷3=151,不符合要求
若最大公约数是1,则最小公倍数是451,451=11×41,原数是11和41,符合要求。
综上所述,原数是(11,41)或(35,65)
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永远的美丽永远
2014-03-18 · TA获得超过4207个赞
知道大有可为答主
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450➗30=15!15+30=45
更多追问追答
追问
错了呢
追答
不会错的!不相信我也没办法
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amer0beauty
2014-03-18
知道答主
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41,11和65,35两组答案。
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