Question

过点A(2，1)的一条直线与双曲线 x²－y²／2＝1交于P1，P2，则线段P1P2中点P的轨迹方

过点A(2，1)的一条直线与双曲线 x²－y²／2＝1交于P1，P2，则线段P1P2中点P的轨迹方程是？

Answer 1

设直线P1P2的斜率为k，则直线P1P2的方程是：y－2＝k（x－1），∴y＝kx－（2k－1）。
联立：y＝kx－（2k－1）、x^2－y^2/2＝1，消去y，得：
x^2－［k^2x^2－2（2k－1）kx＋（2k－1）^2］/2＝1，
∴（2－k^2）x^2＋2（2k－1）kx－（2k－1）^2－2＝0。

令P1、P2的横坐标为m、n，
则m、n为方程（2－k^2）x^2＋2（2k－1）kx－（2k－1）^2－2＝0的两根，由韦达定理，得：
m＋n＝2（1－2k）k/（2－k^2），∴（m＋n）/2＝（1－2k）k/（2－k^2）。

令点P的坐标为（x，y），则：
x＝（m＋n）/2＝（1－2k）k/（2－k^2）＝2＋（k－4）/（2－k^2），
y＝2k＋（k－4）k/（2－k^2）－（2k－1）＝1＋（k－4）k/（2－k^2），
∴x－2＝（k－4）/（2－k^2）、y－1＝（k－4）k/（2－k^2），
∴2（x－2）^2－（y－1）^2＝（k－4）^2/（2－k^2），
又（y－1）－4（x－2）＝（k－4）^2/（2－k^2），
∴2（x－2）^2－（y－1）^2＝（y－1）－4（x－2），
∴2（x－2）^2＋4（x－2）＋2－（y－1）^2－（y－1）＋1/4＝9/4，
∴2［（x－2）＋1］^2－［（y－1）－1/2］^2＝9/4，
∴2（x－1）^2－（y－3/2）^2＝9/4，∴（x－1）^2/（9/8）－（y－3/2）^2/（9/4）＝1。
∴点P的轨迹方程是双曲线：（x－1）^2/（9/8）－（y－3/2）^2/（9/4）＝1。

追问

有没有简单的步骤啊。

Answer 2

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