Question

已知函数fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0 f1=1，证明：存在c属于（0,1）

,使得f(c)=1-c

Answer 1

令：F(x)=x^2*f(x)
当x=0时，F(0)=0^2*f(0)=0
当x=1时，F(1)=1^2*f(1)=0
而且F(x)在[0,1]内连续，F(x)在(0,1)内可导
故根据Rolle中值定理得:
存在g∈(0,1),使得f'(g)=0
而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)
故有：2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)
即得：-2f(g)=g*f'(g)
故：f'(g)=-2f(g)/g