Question

已知定义在实数集R上的函数f(x)满足下列条件,(1)f(0)=0,f（1)=1，

已知定义在实数集R上的函数f(x)满足下列条件,(1)f(0)=0,f（1)=1，（2）对任意的实数x,y都有f((x+y)/2)=(1-a)f(x)+af(y),其中a是常数
(1)求a和f(-1)的值，（2）求证对任意的实数x,y都是f(x+y)=f(x)+f(y)
(3)求f(1/3)的值

Answer 1

(1)设x=1,y=-1,则(x+y)/2=0
f(0)=(1-a)f(1)+af(-1)
0=(1-a)*1+a*f(-1) (1)
又设x=-1，,y=1
同理可得
0=（1-a)f(-1)+a (2)
(1)+(2)得
f(-1)+1=0
f(-1)=-1
a=1/2
(2)设x=0

则f(y/2)=1/2f(y) (3)
设y=0
则f(x/2)=1/2f(x) (4)
设a=2x,b=2y 带入
f(x+y)=1/2f(2x)+1/2f(2y)
根据（3），（4）得
f(x+y)=f(x)+f(y)
（3）f(2)=f(1)+f(1)=2
f(3)=f(1）+f(2)=3
f(3)=f(9*1/3）=9f(1/3)
所以
f（1/3)=f(3)/9=3/9=1/3

希望对你有帮助~~~·太难打了