Question

已知函数f(x)＝x＋a/x＋lnx

Answer 1

答：
定义域为x∈(0，+∞)，
f'(x)=1-a/x²+1/x=(x²+x-a)/x²
f'(x)=0时x²+x-a=0
(x+1/2)²=a+1/4
因为x∈(0，+∞)，g(x)=(x+1/2)²在x∈(0，+∞)上递增，所以g(x)值域为(1/4,+∞)。
所以(x+1/2)²=a+1/4>1/4，即a>0。
①当a≤0时f'(x)=0无解，此时f'(x)恒>0，f(x)在定义域上为增函数，
即单调增区间为(0,+∞)，无减区间，无极值点。
②当a>0时，f(x)=0当且仅当x=(√(4a+1)-1)/2（另外一根为负值不在定义域内舍去）。
x (0,(√(4a+1)-1)/2) , (√(4a+1)-1)/2 , ((√(4a+1)-1)/2,+∞)
f'(x) <0 , =0 , >0
f(x) 递减 , 极小值 , 递增
f((√(4a+1)-1)/2)=√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2)
所以f(x)的单调增区间为((√(4a+1)-1)/2,+∞)，减区间为(0,(√(4a+1)-1)/2)，
极小值点为((√(4a+1)-1)/2) , √(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2)，无极大值点。