Question

泰勒公式

Answer 1

带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，

　　f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

　　泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x。）多项式和一个余项的和：

　　f(x)=f(x。）+f'(x。）（x-x。）+f''(x。）/2!*(x-x。）^2,+f'''(x。）/3!*(x-x。）^3+……+f(n)(x。）/n!*(x-x。）^n+Rn(x)

　　其中Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1）！*(x-x.)^(n+1），这里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

　　（注：f(n)(x。）是f(x。）的n阶导数，不是f(n）与x。的相乘。）

　　使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。

　　Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等

Answer 2

泰勒公式是一个用函数在某点信息描述其附近取值的公式，如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数，构建一个多项式来近似表达这个函数。