Question

怎么用空间向量的法向量求解此题

在四棱锥p-abcd中，地面ABCD是边长为a的正方形，其对角线交点为o,侧面pad垂直地面ABCD,且PA=PD=[根号2/2]a
求点o到面PAB的距离？
怎么用空间向量的法向量求解此题

Answer 1

取AD中点为E,连接PE,

∵PA=PD

∴PE⊥AD

∵侧面PAD垂直底面ABCD，交线为AD

∴PE⊥底面ABCD

连接EO

∵ABCD为正方形

∴EA,EO,EP两两垂直

以E为原点建立坐标系E-xyz

则A(a/2,0,0),P(0,0,a/2),O(0,a/2,0),B(a/2,a,0)

向量PA=(a/2,0,-a/2),向量AB=(0,a,0)

向量AO=(-a/2,a/2,0)

设平面PAB的一个法向量m=(x,y,z)

那么m·PA=0,m·AB=0

∴{ax/2-az/2=0

   { y=0

取z=1,则x=1

∴m=(1,0,1)

∴O到平面PAB的距离

d=|AO·m|/|m|

  =|-a/2|/√2=√2a/4

Answer 2

用法向量就复杂化啦，何必呢。DP垂直AP，DP的投影AD垂直AB所以DP垂直AB，所以DP垂直平面ABC，也就是四面体DABP的高，O是BD的中点，所以O到ABP的距离是DP的一半，就求出来了。。。如果非要用法向量解，那就在O点建立一个三维坐标系，先求PAB方程（AX+BY+CZ+D=0），其法向量则为（A,B,C）向量，然后垂线向量OH在法向量（A,B,C）上且H点在平面PAB上满足方程（AX+BY+CZ+D=0）这两个已知条件就可以解出O点到PAB的垂线向量了。